現(xiàn)在通過前面的學習，我們已經(jīng)了解了一些關于序數(shù)的基本知識。這次我們來講一下序數(shù)中的一個基本的概念，不動點。 什么是不動點?簡單來說就是按照和之前相同的方法不能再讓這個序數(shù)增大，那這個序數(shù)就是一個不動點。舉個例子，我們從ω開始數(shù)，后面有ω+1，ω+2，……，ω×2，ω×3，……，ω2，ω3，……，ω^ω，ω^ω^ω，…… 最終我們會得到這樣一個序數(shù)，它是ω的ω層冪塔。我們把這個序數(shù)命名為ε?，很明顯有ω^ε?=ε?(順便一提，ε?是皮亞諾公理系統(tǒng)的算術極限，也是九頭蛇函數(shù)的增長率)。那么我們的序數(shù)之路是否就到此結束了呢？當然不是，ε?+1不就是一個比ε?更大的序數(shù)嗎？我們繼續(xù)數(shù)下去就有ε?+2，……ε?+ω，ε?+ω^ω，ε?+ω^ω^ω……ε?×2，ε?×3，……ε?×ω，ε?×ω^ω，ε?×ω^ω^ω……ε?2，ε?3，……ε?^ω。這里要注意一下，ε?^ω＞ω^ε?，因為我們前面已經(jīng)說過超限序數(shù)的運算不滿足交換律。 繼續(xù)往下數(shù)就有ε?^ω^ω，ε?^ω^ω^ω，……當ε?頭頂又有個ω層的ω冪塔時，把上面那個整體又換成ε?，我們就得到了ε?^ε?。{ε?，ε?^ε?，ε?^ε?^ε?……}是ε?的基本列，也就是說ω層的ε?冪塔就是ε?。ε?的基本列還有另外一種形式：{ω+1，ω^(ω+1)，ω^ω^(ω+1)……}，這兩種形式的基本列是完全等價的，感興趣的可以自己動手互化一下。 ε?的基本列就是{ε?，ε?^ε?，ε?^ε?^ε?……}，然后后面還有ε?，ε?，ε?……這樣一直下去的極限相信你們也猜到了，那就是ε?ω。既然ε的下標可以是ω，那它的下標可不可以是ε?呢？當然是可以的，而且這個下標上的ε還可以有自己的下標。最終我們又會得到一個ω層的ε下標塔，我們把它命名為ζ?。ζ?是ε的下標不動點，我們有ε?ζ?=ζ?。 請思考一個問題，{ζ?，ζ?^ζ?，ζ?^ζ?^ζ?……}的極限是多少？是ζ?嗎？當然不是，ζ?的ω層冪塔應該是ε?(ζ?+1)。因為我們有ζ?=ε?ζ?，ε?(α+1)=(ε?α)^^ω這兩條規(guī)則。ζ?的基本列應該是{ζ?+1，ε?(ζ?+1)，ε?ε?(ζ?+1)……}。繼續(xù)前進我們就能得到ζ?，ζ?……ζ?ω，ζ?ε?，ζ?ε?ε?……ζ?ζ?，ζ?ζ?ζ?…… 我們此時又得到了一個ζ的ω層下標塔，它是η?，是ζ的下標不動點。我們有η?=ζ?η?=ε?η?。那么我們要怎樣才能得到η?呢？根據(jù)前面我們可以知道，η?的ω層冪塔是ε?(η?+1)。ε?ε?(η?+1)，ε?ε?ε?(η?+1)……的極限是η?嗎？當然不是啦，別忘了，ε的ω層下標塔是ζ而不是η，所以極限應該是ζ?(η?+1)。而η?的極限應該是{η?+1，ζ?(η?+1)，ζ?ζ?(η?+1)……}。再然后就又是熟悉的η?，η?……η?ω，η?ε?，η?ε?ε?……η?ζ?，η?ζ?ζ?……η?η?，η?η?η?…… 我們又得到了一個η的ω層下標不動點，此時應該怎么辦？再找個希臘字母來命名這個不動點嗎？但這并非是長遠之計，因為希臘字母是有限的，總會被用完，我們需要一種更系統(tǒng)化的方式來枚舉這些不動點。而這就是φ函數(shù)。 在φ函數(shù)的表示法里，ε?=φ(1，0)，ε?=φ(1，1)，ε?ω=φ(1，ω)，ε?ε?=φ(1，φ(1，0))，ζ?=φ(2，0)，η?=φ(3，0)。所以η的ω層下標塔用φ函數(shù)表示就是φ(4，0)。{φ(1，0)，φ(2，0)，φ(3，0)，φ(4，0)……}極限是φ(ω，0)。{φ(1，0)，φ(φ(1，0)，0)，φ(φ(φ(1，0)，0)，0)……}的極限是φ(1，0，0)。 φ(1，0，0)也叫Γ?，它是二元φ函數(shù)的極限，同時也是多元φ函數(shù)的起始。Γ?可以寫成φ(Γ?，0)，也就可以寫成φ(1，Γ?)。事實上，φ函數(shù)里的那個1可以換成任意一個小于Γ?的序數(shù)。Γ?的ω層冪塔自然就是φ(1，Γ?+1)。φ(1，Γ?+1)，φ(1，φ(1，Γ?+1))，φ(1，φ(1，φ(1，Γ?+1)))……極限是φ(2，Γ?+1)。 φ(1，Γ?+1)，φ(2，Γ?+1)，φ(3，Γ?+1)……極限是φ(ω，Γ?+1)。φ(φ(1，0)，Γ?+1)，φ(φ(φ(1，0)，0)，Γ?+1)……φ(Γ?，1)。φ(Γ?+1，0)的基本列是{φ(Γ?，φ(Γ?，1))，φ(φ(Γ?，φ(Γ?，1)))，φ(φ(Γ?，φ(Γ?，φ(Γ?，1))))……}。而φ(1，0，1)則是Γ?+1，φ(Γ?+1，0)，φ(φ(Γ?+1，0)，0)……的極限。φ(1,0,α+1) 被定義為以下序數(shù)列的極限：

當三元φ函數(shù)的第一位(從右往左數(shù))套娃到套不下去時，向第二位進位。也就是說φ(1，1，0)的基本列是{φ(1，0，φ(1，0，0))，φ(1，0，φ(1，0，φ(1，0，0)))，φ(1，0，φ(1，0，φ(1，0，φ(1，0，0))))……}。同樣的，第二位上套娃套不下去時就要向第三位進位了。而第三位上套娃套不下去時，就得到了四元φ函數(shù)φ(1，0，0，0)。 要得到φ(1，0，0，1)方法和前面三元φ(1，0，1)，只是要先把它化成二元φ函數(shù)的形式，再套娃升級回三元，再套娃升級成四元。進位的規(guī)則也是類似的，都是某一位套不下去了就向下一位進位，最高位也套不時就再次升級。 在φ函數(shù)中@符號表示前面的數(shù)字在φ函數(shù)的第幾位上，沒寫位的默認為0，最右邊是第0位，例如φ(1，0，0)=φ(1@2)。φ(1，1，4，5，1，4)也可以寫成φ(1@5，1@4，4@3，5@2，1@1，4@0)。之所以要引入@符號，是因為如果φ函數(shù)里出現(xiàn)了ω個0時我們不能全部寫出來。這個序數(shù)寫做φ(1@ω)，又叫小維布倫序數(shù)(SVO)。而大名鼎鼎的TREE函數(shù)的FGH增長率比SVO略大，大約是φ(ω@ω)。而葛立恒函數(shù)的增長率只有區(qū)區(qū)的ω+1。現(xiàn)在明白葛立恒數(shù)和TREE(3)的差距有多大了嗎？TREE函數(shù)根本就不是那個什么阿克曼函數(shù)套娃自己阿克曼十八多萬次可以碰瓷的。@符號后面的數(shù)字可以套娃嗎？當然可以。φ(1@ω)，φ(1@φ(1@ω))，φ(1@φ(1@φ(1@ω)))……的極限叫做大維布倫序數(shù)(LVO)。LVO通常被認為是傳統(tǒng)φ函數(shù)的極限(有一些升級方式能讓φ函數(shù)可以表示LVO以上的序數(shù)，但是意義不大，我們有更好用的方法)，想要用 φ 函數(shù)表達出LVO的話，里面需要有LVO位數(shù)。φ函數(shù)的潛力已經(jīng)基本用完了，我們需要一個更加強力的表示方法。下期預告：序數(shù)崩塌函數(shù)！