“量變才能引起質(zhì)變,堅(jiān)持才會(huì)有進(jìn)步”

“秩”非常非常重要

1. 秩是啥呢？

   通俗來(lái)講，秩是代表全體的最簡(jiǎn)信息。都代表全體了，你說(shuō)重不重要？？？

   當(dāng)然重要啦?。。?/p>

   我們來(lái)舉個(gè)小例子：

   老師傳達(dá)消息的時(shí)候，可以把消息傳達(dá)給宿舍長(zhǎng)就行了，這樣等于全班都知道消息了

   老師---宿舍長(zhǎng)---學(xué)生（宿舍長(zhǎng)就可以代替學(xué)生）

對(duì)應(yīng)到矩陣?yán)锩媸巧赌?/p>

矩陣A：三行成比例，第二行和第三行可以用第一行表示

矩陣B：他們之間不能相互表示

2.矩陣秩的定義（官方定義）

矩陣A非零子式的最高階數(shù)---r(A)=2:矩陣A有二階的非零子式，有就行?。?！

下面幾個(gè)要理解清楚：

（1）r(A)=r <=> A中有r階子式不為零，任何r+1階子式必全為零

eg:r(A)=5 A存在5階行列式不為0，任何的6階行列式全為0

（2）r(A)<r?<=> A中r階子式全為零

（3）r(A)≥r??<=>?A中有r階子式不為零

（4）A≠0---r(A)≥1

總結(jié)：秩的問(wèn)題（題干會(huì)給兩個(gè)條件），都是一個(gè)大，一個(gè)小，然后把秩夾逼出來(lái)

若矩陣為n階矩陣(方陣)，r(A)=n?<=> |A|≠0?<=> A可逆

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r(A)<n?<=>?|A|=0?<=> A不可逆

3.向量組的秩

4.關(guān)于“矩陣的秩”的一些定理

（1）經(jīng)過(guò)初等變換后的矩陣的秩不變

（2）三秩相等：r(A)=A的行秩=A的列秩

應(yīng)用：1.證明向量組線性相關(guān)、無(wú)關(guān) 2.解方程組（從向量組的相關(guān)、無(wú)關(guān)入手，得出來(lái)矩陣的秩）

(3)Ax=0有非0解→r(A)<n

(4)AX=0的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)s=n-r(A)

4.關(guān)于“矩陣的秩”的一些公式

9.伴隨矩陣的秩

證明公式4

證明公式6

5.“秩”與“向量組線性相關(guān)性/無(wú)關(guān)性”的關(guān)系

2023.9.24 先寫(xiě)到這里，我先去干飯了。

下面更新

AB=O，r(A)+r(B)≤n

伴隨矩陣的秩，啊啊啊，先截個(gè)圖放上去

2023.9.27日，我來(lái)更新了。

A滿秩充要條件行列式不等于0（下面來(lái)自知乎的一個(gè)解釋?zhuān)?/p>

? 行列式為零說(shuō)明經(jīng)過(guò)變換之后至少某一行或某一列全為零，試想一下，一行或一列為零，那么它矩陣的秩一定小于它的行數(shù)和列數(shù)，一定不滿秩。反過(guò)來(lái)，行列式不為零，也就是經(jīng)過(guò)初等變換得不到任何一行或一列為零，即矩陣的秩等于行列數(shù)，即為滿秩。