這個問題首先可以從一元函數(shù)的微分入手。

首先是高階無窮小的定義：

上圖是高階無窮小的來歷。

微分定義中出現(xiàn)了高階無窮小。

以上證明過程可以清晰看到微分中高階無窮小出現(xiàn)的原因。首先是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義得出a,這個a是肯定會隨著Δx趨于0而趨于0的，因為Δy/Δx就是導(dǎo)數(shù)的定義，而當(dāng)Δx趨于0的時候，導(dǎo)數(shù)得到精確值f'(x0)，所以a是Δx趨于0時候的無窮小，a再乘以Δx得到aΔx，當(dāng)然就是Δx趨于0時的高階無窮小。

以上是極限的定義。

以上是Δy和dy是等價無窮小的證明，所以兩者在Δx趨于0時可以相互替代。

上圖是Δy和dy的幾何意義。對于x軸上固定兩點x和x+Δx，Δy表示的是曲線上相對應(yīng)兩點的高度變化，也就是函數(shù)值的變化；dy表示的是切線上相對應(yīng)兩點的高度變化。很明顯，當(dāng)Δx趨于0時，兩者趨于一致。高階無窮小就是曲線上變化的高度減去切線上變化的高度Δy-dy。

下面是多元函數(shù)的情況。

上圖證明過程中，通過多元函數(shù)的連續(xù)定義，引入了無窮小epsilon1。為了搞清楚這個問題，首先看多元函數(shù)的極限定義：

然后是多元函數(shù)連續(xù)性定義：

與一元函數(shù)連續(xù)性定義對比：

上圖中出現(xiàn)了epsilon。與圖1對比，f(x)就是

，而f(x0)就是

圖4中的epsilon肯定會隨著x趨于x0而趨于0，這一點很容易由下圖的連續(xù)函數(shù)幾何意義看出來：

上圖中的Δy就是f(x)-f(x0)。很明顯，當(dāng)Δx趨于0時，Δy也趨于0。

而對于多元函數(shù)來說，這個Δx就是下圖中的PP0,也就是圖1中的epsilon1。很明顯，這個epsilon1就相當(dāng)于圖0中的a，而PP0也相當(dāng)于圖0中的Δx，所以圖1中的epsilon1會隨著PP0(也就是p)趨于0而趨于0。

上圖的目的正是為了證明全增量Δz與全微分dz之間的差距

是圖2中

的高階無窮小。

全增量Δz與全微分dz的幾何意義如上圖。由于

從切平面的方程可以看出，由于z-z0就是dz，x-x0就是dx，y-y0就是dy。

如上圖所示，假設(shè)A點坐標(biāo)是（x,y）,B點坐標(biāo)是

則由這兩點在xoy平面向上作兩條垂線（這里過A點的垂線與曲面的交點就是M），與切平面交點之間的高度差就是全微分

，而與曲面兩個交點之間的高度差就是全增量