學(xué)不明白的數(shù)學(xué)分析（五十八）

2023-02-22 23:27 作者:不能吃的大魚(yú) 0人讀過(guò) | 我要投稿

介紹完含參變量常義積分，我們就要進(jìn)一步討論含參變量反常積分。我們?cè)诮榻B反常積分的收斂判別法時(shí)，曾經(jīng)提到過(guò)瑕積分通過(guò)一定的變換，可以轉(zhuǎn)化為無(wú)窮積分。因此，我們主要以含參變量的無(wú)窮積分為我們的研究對(duì)象，來(lái)對(duì)其進(jìn)行性質(zhì)的討論。

在上一篇專欄當(dāng)中，我有介紹過(guò)，含參變量積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)有著類似的地方；而在反常積分尤其是無(wú)窮積分部分，我們指出了無(wú)窮積分與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的聯(lián)系。所以，我們不難想到，在這一部分，我們有很多的東西，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分有很多十分相近的內(nèi)容。

Chapter? Eighteen? 含參變量積分

18.2? 含參變量反常積分的一致收斂

我們?cè)谏弦黄獙谥赋?，在含參變量積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間，級(jí)數(shù)中的n對(duì)應(yīng)于積分中的x，級(jí)數(shù)中的x對(duì)應(yīng)于積分中的u。也就是說(shuō)，實(shí)際上，二者之間的關(guān)系十分緊密，對(duì)于其中一個(gè)概念適用的討論對(duì)于另外一個(gè)概念應(yīng)該也有類似的內(nèi)容。

我們知道，我們?cè)诤瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分的討論，是從函數(shù)列開(kāi)始的，因?yàn)楹瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) $%5Csum_%7Bn%3D0%7D%5E%E2%88%9E%20u_n(x)%20$ 的問(wèn)題本質(zhì)上是部分和函數(shù)列 $%5C%7BS_n(x)%5C%7D$ 的問(wèn)題。因此，類似地，含參變量反常積分：

$%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

的斂散性問(wèn)題，本質(zhì)上就是變上限積分函數(shù)：

$F(A%2Cu)%3D%5Cint_a%5EA%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

的斂散性問(wèn)題。于是我們也從含參變量函數(shù)入手，來(lái)逐步討論得到有關(guān)含參變量反常積分的性質(zhì)。

首先，我們能夠想到的，就是一致收斂。

回憶函數(shù)列一致收斂的定義：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cx%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf_n(x)-f(x)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

我們考慮到n與x，x與u之間的關(guān)系，就不難對(duì)其修改得到以下定義：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%5Cin%20%5Cmathring%20U(x_0%2C%5Cdelta%20)%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

此時(shí)，我們稱含參變量函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在 $x%5Crightarrow%20x_0$ 時(shí)關(guān)于u一致收斂到 $%5Cvarphi%20(u)$ 。

考慮到我們所實(shí)際需要的極限過(guò)程，類似地有：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

此時(shí)，我們稱含參變量函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在 $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 時(shí)關(guān)于u一致收斂到 $%5Cvarphi%20(u)$ 。

對(duì)于這一定義，我們也有以下的等價(jià)定義（以 $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 為例）：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20%5Cdelta%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20x%EF%BC%9E%5Cdelta%20%EF%BC%8C%5Csup_%20%7Bu%20%5Cin%20I%7D%7Cf(x%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（等價(jià)定義1）

以及：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8CM%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20N%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20n%EF%BC%9EN%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8Cx_n%EF%BC%9EM%EF%BC%8C%7Cf(x_n%2Cu)-%5Cvarphi%20(u)%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（等價(jià)定義2）

在這里我們直接給出一個(gè)有關(guān)一致收斂的結(jié)論，證明留給大家：

設(shè)定義在：

$D%3D%5Ba%2Cb%5D%5Ctimes%20I$

上的函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在任意固定x時(shí)，關(guān)于u連續(xù)，且在 $x%5Crightarrow%20x_0$ 時(shí)關(guān)于u一致收斂到 $%5Cvarphi%20(u)$ ，則 $%5Cvarphi%20(u)$ 連續(xù)。

（定理1）

介紹完一致收斂的概念，我們就要思考，這一概念能夠給我們研究問(wèn)題帶來(lái)哪些便利。與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)平行的結(jié)論自不必說(shuō)。但是，有關(guān)于含參變量常義積分的內(nèi)容，我們可以更深入地研究一下。

我們?cè)谏弦还?jié)提到過(guò)，若想含參變量積分的連續(xù)，比較容易想到的首先就是保證在任意固定x時(shí)， $f(x%2Cu)$ 關(guān)于u連續(xù)。但是，僅有這一點(diǎn)是不充分的，我們還需要一些條件來(lái)與之配合。

回憶一下我們的推導(dǎo)過(guò)程：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Cbigg%7C%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx-%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu_0)%5Ctext%20dx%5Cbigg%7C%5Cle%20%5Cint_a%5Eb%20%7Cf(x%2Cu)-f(x%2Cu_0)%7C%5Ctext%20dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

則顯然，如果函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 時(shí)關(guān)于x一致收斂到 $f(x%2Cu_0)$ ，那么我們就能保證含參變量積分 $%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u連續(xù)，即：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5Eb%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)做對(duì)比，其實(shí)就是在說(shuō)，逐點(diǎn)收斂無(wú)法保證含參變量積分的連續(xù)性，但是一致收斂可以。

（這里有一些細(xì)節(jié)沒(méi)有特別明確的給出，尤其要注意的就是含參變量函數(shù)可積性的保證與極限函數(shù)的可積性的得出。相信大家可以自行完成~）

不過(guò)，當(dāng)有了一致收斂的概念以后，我們其實(shí)可以看到，即使 $f(x%2Cu)$ 并不能保證在任意固定x時(shí)，關(guān)于u連續(xù)，也能夠得到類似的結(jié)果：

設(shè)定義在：

$D%3D%5Ba%2Cb%5D%5Ctimes%20I$

上的函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在任意固定u時(shí)關(guān)于x可積，且在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 時(shí)關(guān)于x一致收斂到 $g(x)$ ，則 $g(x)$ 可積，并有：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5Eb%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5Eb%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5Eb%20g(x)%5Ctext%20dx$

采用關(guān)于 $u%5Crightarrow%20u_0$ 時(shí)的等價(jià)定義2就可以將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)列的問(wèn)題，從而能夠很輕松地得到結(jié)果。

在有了一致收斂的概念以后，對(duì)于函數(shù)變上限積分函數(shù)的一致收斂也就好理解了。

我們直接給出一些與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)平行的結(jié)論，至于證明，有興趣的小伙伴可以嘗試一下，并不難證明：

（1）當(dāng) $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 時(shí)，反常積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收斂等價(jià)于：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint%20_A%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

以及：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8C%5Csup_%7Bu%5Cin%20I%7D%5Cbigg%7C%5Cint%20_A%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（2）Cauchy收斂原理：

當(dāng) $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 時(shí)，反常積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收斂等價(jià)于：

$%5Cforall%20%5Cvarepsilon%20%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cexists%20A_0%EF%BC%9E0%EF%BC%8C%5Cforall%20A_1%2CA_2%EF%BC%9EA_0%20%EF%BC%8Cu%5Cin%20I%EF%BC%8C%5Cbigg%7C%5Cint%20_%7BA_1%7D%5E%7BA_2%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%20%5Cbigg%20%7C%EF%BC%9C%5Cvarepsilon%20.$

（3）Weierstrass控制判別法：

設(shè) $f(x%2Cu)$ 在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上關(guān)于x連續(xù)，如果存在 $%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)$ 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù) $h(x)$ ，使得：

$%5Cint%20_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20h(x)%5Ctext%20dx$

收斂，并且：

$%7Cf(x%2Cu)%7C%5Cle%20h(x)%5Cquad(x%5Cin%20%5Ba%2C%2B%E2%88%9E))$

則反常積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收斂；

（4）Dirichlet判別法：設(shè) $f%2Cg$ 滿足：

①當(dāng) $A%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 時(shí)， $%5Cint_a%5EA%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致有界；

②對(duì)任意固定的u， $g(x%2Cu)$ 關(guān)于x單調(diào)，且當(dāng) $x%5Crightarrow%20%2B%E2%88%9E$ 時(shí)關(guān)于x一致收斂于0；

則反常積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)g(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收斂；

（5）Abel判別法：

① $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂；

②對(duì)任意固定的u， $g(x%2Cu)$ 關(guān)于x單調(diào)，且一致有界；

則反常積分 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)g(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 一致收斂。

Chapter? Eighteen? 含參變量積分

18.3? 含參變量反常積分的性質(zhì)

從上面我們的討論，我們不難理解到，含參變量反常積分實(shí)際上可以寫(xiě)作：

$%5Cvarphi%20(u)%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

本質(zhì)上是一個(gè)關(guān)于u的函數(shù)。

還是一樣，考慮到含參變量反常積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之間的緊密聯(lián)系，其性質(zhì)方面也應(yīng)該由于函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)類似的討論。在此我們不再贅述，只是將定理敘述一遍，證明思路與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)部分高度一致，大家自然很容易理解這些內(nèi)容，也可以嘗試自行證明：

（1）連續(xù)性：

如果函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上連續(xù)，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂，則 $%5Cvarphi%20(u)$ 連續(xù)；

（2）Dini定理：

如果函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上非負(fù)連續(xù)，且 $%5Cvarphi%20(u)$ 在某一有限閉區(qū)間上連續(xù)，則 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂；

（3）可積性：

如果函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上連續(xù)，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂，則 $%5Cvarphi%20(u)$ 在可積，并有：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%3D%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

（4）可微性：

如果函數(shù) $f$ 和 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D%20$ 都在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20%5B%5Calpha%2C%5Cbeta%5D$

上連續(xù)，且 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂，則 $%5Cvarphi%20(u)$ 在可微，并有：

$%5Cfrac%7B%5Ctext%20d%5Cvarphi%20%7D%7B%5Ctext%20du%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Ctext%20d(%5Cint_a%5Ebf(x%2Cu)%5Ctext%20dx)%7D%7B%5Ctext%20du%7D%3D%5Cint_a%5Eb%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20u%7D(x%2Cu)%5Ctext%20dx$

這些內(nèi)容都是由函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的對(duì)應(yīng)的結(jié)論非常自然地平行推及得到的，但是這些內(nèi)容還可以進(jìn)行推廣。

首先是連續(xù)性部分。實(shí)際上，所謂連續(xù)性，不過(guò)是函數(shù)的極限與函數(shù)值之間有一定的關(guān)系。當(dāng)我們放寬條件，只考慮極限存在的情況，那么就會(huì)有不一樣但是類似的結(jié)果：

設(shè)定義在：

$D%3D%5Ba%2C%2B%E2%88%9E)%5Ctimes%20I$

上的函數(shù) $f(x%2Cu)$ 在任意固定u時(shí)關(guān)于x可積，且對(duì)于任意的A＞a，在 $u%5Crightarrow%20u_0$ 時(shí)關(guān)于x一致收斂到 $g(x)$ ，以及 $%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx$ 關(guān)于u一致收斂，則有：

$%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%5C%5C%20u%5Cin%20I%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%3D%20%5Cint%20_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Clim_%7Bu%5Cto%20u_0%5C%5Cu%20%5Cin%20I%7D%20%20f(x%2Cu)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20g(x)%5Ctext%20dx$

（定理2）

其次是可積性部分。如果我們記：

$F(%5Cbeta%2Cx)%3D%5Cint_%5Calpha%5E%5Cbeta%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du$

那么結(jié)論（2）又可以表示成：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx$

如果：

① $%5Cint_%5Calpha%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du$ 收斂

② $%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x%2Cu)%5Ctext%20du%EF%BC%8C%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx$ 一致收斂；

則：

$%5Cbegin%20%7Bequation%7D%0A%5Cbegin%20%7Baligned%7D%0A%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cint_%5Calpha%20%5E%5Cbeta%20%5Cvarphi%20(u)%5Ctext%20du%26%3D%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_a%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cbigg(%5Clim_%7B%5Cbeta%20%5Cto%2B%E2%88%9E%7D%20F(%5Cbeta%2Cx)%5Cbigg)%5Ctext%20dx%5C%5C%0A%26%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20f(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx%0A%5Cend%20%7Baligned%7D%0A%5Cend%20%7Bequation%7D$

也即：

$%5Cint_%5Calpha%20%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%5Cbigg(%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%20f(x%2Cu)%5Ctext%20dx%5Cbigg)%5Ctext%20du%3D%5Cint_a%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cbigg(%5Cint_%5Calpha%5E%7B%2B%E2%88%9E%7Df(x%2Cu)%5Ctext%20du%5Cbigg)%5Ctext%20dx$

這就將可積性的結(jié)論做了推廣，使之在雙無(wú)窮區(qū)間上也成立。

思考：

證明等價(jià)定義1；
證明等價(jià)定義2；
證明定理1；
證明定理2；
判斷下列反常積分是否一致收斂：

（1）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ux%7D%5Csin%20x%5Ctext%20dx%5Cquad(0%EF%BC%9Cu_0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（2）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Ctext%20dx%7D%7B1%2B(x%2Bu)%5E2%7D%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（3）

$%5Cint_%7B-%E2%88%9E%7D%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bx%5E2%5Ccos%20ux%7D%7B1%2Bx%5E4%7D%20%5Ctext%20dx%20%5Cquad(-%E2%88%9E%EF%BC%9Cu%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（4）

$%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20e%5E%7B-ux%7D%20%5Cfrac%7B%5Ccos%20x%7D%7B%5Csqrt%7Bx%7D%20%7D%20%5Ctext%20dx%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$

（5）

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Csqrt%7Bu%7D%20e%5E%7B-ux%5E2%7D%5Ctext%20dx%20%5Cquad(0%5Cle%20u%EF%BC%9C%2B%E2%88%9E)$
證明：積分：

$%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20ux%7D%7Bx%7D%20%5Ctext%20dx$

在任何不包含u=0的有限閉區(qū)間上一致收斂，在包含u=0的有限閉區(qū)間上不一致收斂；
研究下列函數(shù)在指定區(qū)間上的連續(xù)性：

（1）

$f(x)%3D%5Cint_0%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7Bt%7D%7B2%2Bt%5Ex%7D%20%5Ctext%20dt%20%5Cquad(x%5Cin(2%2C%2B%E2%88%9E))$

（2）

$f(x)%3D%5Cint_1%5E%7B%2B%E2%88%9E%7D%20%5Cfrac%7B%5Csin%20t%7D%7Bt%5Ex%7D%20%5Ctext%20d%20t%20%5Cquad(x%5Cin(0%2C%2B%E2%88%9E))$
計(jì)算積分：

$%5Cint_0%5E1%20x%5E%7B%5Calpha-1%7D(%5Cln%20x)%5Em%5Ctext%20dx$