對一道“投籃”物理題的研究補充

2022-07-10 22:51 作者:現(xiàn)代微積分 0人讀過 | 我要投稿

這次水一篇專欄。這篇文章大部分還是依靠了計算機的輔助，所以本文章沒有太多可學的知識，讀們圖一樂就好了。

文章靈感來源：BV1vU4y1Q71u

我又發(fā)現(xiàn)了一位具有探索精神的up主，實在令人敬佩。

下面是就當是我對原up主研究成果的“錦上添花”吧[doge]

原題：

下面我們來看第(2)題的研究

個人的求解的思路大致如下：

1、求出運動的球的方程，并求出其運動的包絡(luò)面(即籃球可經(jīng)過的空間區(qū)域)

2、找出包絡(luò)面與y-O-x平面的交線，需滿足交線在籃圈所在的圓內(nèi)

3、分離變量，利用拉格朗日乘數(shù)法求得該曲線與圓相切的邊界

如上圖，建立空間直角坐標系

球心的初始位置坐標為(0.12,0,0.45),設(shè)初速度為v?

則球心運動的坐標為：

$(0.12%2Bv_0t%2C0%2C0.45-5t%5E2)$

則球的方程為：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0t)%5D%5E2%2By%5E2%2B%5Bz-(0.45-5t%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2$

對參數(shù)t求偏導并令其=0

$2%5Bx-(0.12%2Bv_0t)%5D%5Ccdot%20(-v_0)%2B2%5Bz-(0.45-5t%5E2)%5D%5Ccdot%2010t%3D0$

整理得：

$50t%5E3%2B(v_0%5E2%2B10z-4.5)t%2B0.12v_0-v_0x%3D0$

這是個一元三次方程，利用卡爾丹公式(求根公式)求解：

$t%5E3%2B%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B50%7D%20t%2B%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B50%7D%20%3D0$

其中 $p%3D%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B50%7D%20%2Cq%3D%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B50%7D$

則 $t%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7Bq%7D%7B2%7D%20)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%20)%5E3%7D%20%7D%20$

$%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D$

代入球方程消去參數(shù)t得包絡(luò)面方程：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D))%5D%5E2$

$%2By%5E2%2B%5Bz-(0.45-5(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2%2B10z-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D)%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2%20$

(可能由于式子過于復雜，ggb畫不出圖像，包絡(luò)面大概就是像這種遮光滑滑梯的外表)

令z=0得相交曲線方程：

$%5Bx-(0.12%2Bv_0(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D))%5D%5E2$

$%2By%5E2%2B%5B-(0.45-5(%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20%2B%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D%20%0A%2B%5Csqrt%5B3%5D%7B-%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D%20-%5Csqrt%7B(%5Cfrac%7B0.12v_0-v_0x%7D%7B100%7D)%5E2%2B(%5Cfrac%7Bv_0%5E2-4.5%7D%7B150%7D)%5E3%7D%20%7D)%5E2)%5D%5E2%3D0.12%5E2%20$

用作圖軟件作出該曲線的圖像

其中紅色的為上述包絡(luò)面與x-O-y平面的交線，黑色的為籃筐所在圓：

$(x-0.375)%5E2%2By%5E2%3D0.225%5E2$

本想將曲線分離出參數(shù)v?后采用拉格朗日乘數(shù)法求的，但由于式子太復雜，因此直接采用近似解

調(diào)整參數(shù)v?使得曲線與圓相切

采用二分法求得近似解： $v_0%5Capprox%201.17(m%2Fs)$

ps:這里調(diào)整v?觀察圖像在相離和相交之間“反復橫跳”以縮小v?調(diào)控的區(qū)間，因此類似求零點的二分法

下面再補充些原up主未完成的探索

其中法(1)進一步借助計算機是可以完成探索的(僅指目前我所掌握的“技術(shù)”(只會一點desmos和geogebra的功能)，沒掌握的功能或其他作圖軟件應(yīng)該能幫助完成所有)，法(5)得出答案還可有其他解法(詳見下文的個人所想到的解法)

（1）嘗試1：參數(shù)方程求解外側(cè)邊界線

up主成果為：寫出了上邊界曲線參數(shù)方程：

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0Ax%3D0.12%2Bv_0t%2B%5Cfrac%7B1.2t%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%5C%5C%0Ay%3D0.45-5t%5E2%2B%5Cfrac%7B0.12v_0%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

(t≥0)

當該邊界線恰好過點(0.6,0)時為最大邊界

此時

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A0.12%2Bv_0t%2B%5Cfrac%7B1.2t%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%3D0.6%20%5C%5C%0A0.45-5t%5E2%2B%5Cfrac%7B0.12v_0%7D%7B%5Csqrt%7Bv_0%5E2%2B100t%5E2%7D%20%7D%20%3D0%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

作出曲線圖

調(diào)整參數(shù)v?使得上邊界線(圖中為紅線)過(0.6,0)

同樣，采用二分法求得近似解為： $v_0%5Capprox%201.17(m%2Fs)$

(5)拋物線與圓相切

即拋物線 $y%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7Bv_0%5E2%7Dx%5E2%20$ 與圓 $(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20$ 相切

可化為求 $(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20$ 條件下 $v_0%5E2%3D-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%20$ 的極值

這里給出兩種方法

法一：三角換元

令

$%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0Ax%3D0.12cos%5Ctheta%20%2B0.48%5C%5C%0Ay%3D0.12sin%5Ctheta%20-0.45%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$

則 $-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%3D-5%5Ccdot%20%5Cfrac%7B(0.12cos%5Ctheta%20%2B0.48)%5E2%7D%7B0.12sin%5Ctheta%20-0.45%7D%20%20$

根據(jù)原意，取這個函數(shù)的極小值就是 $v_0%5E2$ 的最小值

這個函數(shù)求導后的隱零點比較復雜，這里就省略逼根的過程了

作出該函數(shù)的圖像：

則 $v_0%5E2%5Capprox%201.373%2Cv_0%5Capprox%201.17$

法二：拉格朗日乘數(shù)法

設(shè)輔助函數(shù) $L%3D-%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%7D%20%2Bm%5B(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2-%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%5D$

令 $%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%20%3D-%5Cfrac%7B10x%7D%7By%7D%20%2Bm%5B2(x-0.48)%5D%3D0$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%20%3D%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%5E2%7D%2Bm%5B2(y%2B0.45)%5D%3D0%20$

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20m%7D%20%3D(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2-%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%3D0$

聯(lián)立消去乘子m得： $-m%3D%5Cfrac%7B-%5Cfrac%7B10x%7D%7By%7D%20%7D%7B2(x-0.48)%7D%20%3D%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B5x%5E2%7D%7By%5E2%7D%7D%7B2(y%2B0.45)%7D%20$

即 $-2y%5E2%2B0.9y%3Dx%5E2-0.48x$

聯(lián)立： $%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%0A(x-0.48)%5E2%2B(y%2B0.45)%5E2%3D%5Cfrac%7B9%7D%7B625%7D%20%5C%5C-2y%5E2%2B0.9y%3Dx%5E2-0.48x%0A%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%20$