【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)Ep12】每天三道題（數(shù)學(xué)分析+解析幾何+線性代數(shù)）
預(yù)備知識(shí)：
stolz公式——
對(duì)于*/∞型的數(shù)列xn/yn，其中——
存在自然數(shù)N"，使得n>N"時(shí)，yn是單增數(shù)列，即，yn+1>yn；
在已知lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]為有限值或趨向于無(wú)窮的情況下；
公式lim（xn/yn）=lim [（xn-xn-1）/（yn-yn-1）]成立。
無(wú)窮小數(shù)列l(wèi)n（1+1/n）~1/n。
定比分點(diǎn)：在線段P1P2上求一點(diǎn)P，使得由P分成的兩個(gè)有向線段P1P與PP2的量的比為定數(shù)λ（λ不為-1），即P1P/PP2=λ.，則P為線段P1P2以λ為定比的分點(diǎn)，且OP=（OP1+λOP2）/（1+λ）——定比分點(diǎn)公式。
線性相關(guān)：對(duì)于n（n>=1）個(gè)向量a1，a2，……，an，如果存在不全為零的n個(gè)數(shù)l1，l2，……，ln使得l1a1+l2a2+……+lnan=0，那么n個(gè)向量a1，a2，……，an叫做線性相關(guān)。兩個(gè)向量線性相關(guān)即共線/平行，三個(gè)向量線性相關(guān)即共面。
線性無(wú)關(guān)：當(dāng)且僅當(dāng)l1=l2=……=ln=0式，上式才成立，則稱a1，a2，……，an叫做線性無(wú)關(guān)。兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)即不共線/平行，三個(gè)向量線性無(wú)關(guān)即不共面。
參考資料：
《數(shù)學(xué)分析教程》（常庚哲 史濟(jì)懷 編）
《空間解析幾何》（高紅鑄 王敬蹇 傅若男 編著）
《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》（丘維聲 著）
數(shù)學(xué)分析——
例題（來(lái)自《數(shù)學(xué)分析教程（常庚哲 史濟(jì)懷?編）》）——
計(jì)算極限：
a.lim（1+1/2+……+1/n）/ln n
b.lim[1+1/3+……+1/（2n-1））]/ln 2n^（1/2）
解——
a.
分母為單增數(shù)列，則根據(jù)stolz公式：
lim（1+1/2+……+1/n）/ln n
=lim （1/n）/[ln n-ln （n-1）]
=lim（1/n）/[ln n/（n-1）]
=lim（1/n）/{ln [1+1/（n-1）]}
=lim （1/n）/[1/（n-1）]
=lim （n-1）/n
=1
b.
分母為單增數(shù)列，則根據(jù)stolz公式：
lim[1+1/3+……+1/（2n-1））]/ln 2n^（1/2）
=lim [1/（2n-1）]/[ln?2n^（1/2）-ln?2（n-1）^（1/2）]
=lim[1/（2n-1）]/ln [n/（n-1）]^（1/2）
=lim[1/（2n-1）]/{（1/2）ln?[1+1/（n-1）]}
=lim 2/{（2n-1）[1/（n-1）]}
=lim 2（n-1）/（2n-1）
=1
解析幾何——
例題（來(lái)自《空間解析幾何（高紅鑄 王敬蹇 傅若男?編著）》）——
已給不共線向量OA=a，OB=b：
a.試求一個(gè)向量c，使它與∠AOB的角平分線平行。
b.求角平分線。
解：記∠AOB的角平分線與AB的交點(diǎn)為F，取等長(zhǎng)的向量|OB|OA和|OA|OB——
a.
由向量加法平行四邊形法則，有OC=|OB|OA+|OA|OB=|b|a+|a|b平行于∠AOB的角平分線——菱形OACB的對(duì)角線OC平分∠AOB。
b.
F視為AB的定比分點(diǎn)，則存在λ使得OF=（a+λb）/（1+λ）；
又OC//OF，則存在μ，使得OF=μOC=μ（|b|a+|a|b）；
聯(lián)立2，3，（a+λb）/（1+λ）=μ（|b|a+|a|b），即[1/（1+λ）-μ|b|]a=[μ|a|-λ/（1+λ）]b；
由于a，b不共線（線性無(wú)關(guān)），則1/（1+λ）-μ|b|=0，μ|a|-λ/（1+λ）=0，即1/（1+λ）=μ|b|，λ/（1+λ）=μ|a|；
解得：λ=|a|/|b|，μ=1/（|a|+|b|）；
則，OF=μ（|b|a+|a|b）=（|b|a+|a|b）/（|a|+|b|）.
高等代數(shù)——
例題（來(lái)自《高等代數(shù)——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材（丘維聲 著）》）——
設(shè)向量組a1，a2，……，as線性無(wú)關(guān)，則向量β可以由a1，a2，……，as線性表出的充分必要條件是a1，a2，……，as，β線性相關(guān)。
證明：
必要性——
向量β可以由a1，a2，……，as線性表出，即存在實(shí)數(shù)l1，l2，……，ls使得β=l1a1+l2a2+……+lsas；
則l1a1+l2a2+……+lsas+（-1）β=0，即a1，a2，……，as，β線性相關(guān)。
充分性——
設(shè)a1，a2，……，as，β線性相關(guān)，則有K中不全為零的數(shù)k1，k2，……，ks，m使得k1a1+k2a2+……+ksas+mβ=0；
假如m=0，則k1，k2，……，ks不全為零，由1得：k1a1+k2a2+……+ksas=0，于是a1，a2，……，as線性相關(guān)，這與已知條件矛盾，因此m不為0；
由2：β=（-k1/m）a1+（-k2/m）a2+……+（-ks/m）as，得證。
到這里！
