對(duì)根式相加為無理數(shù)的研究
（1）設(shè)，
，則
為無理數(shù).
如果不嚴(yán)格證明，該命題是“顯然”的，但我相信看這篇文章的朋友都希望得到一個(gè)嚴(yán)格的證明.
思路：反證法. 通過變形化為（其中
）的形式，再由有理數(shù)運(yùn)算封閉性得出矛盾.
證明：
假設(shè)，
.
則
若，則
，與
矛盾.
故
而，
，矛盾！
為無理數(shù).
（2）設(shè)，
，
，則
為無理數(shù).
思路：與（1）類似.
證明：
假設(shè)，
.
（將等式兩邊三次方）
若，
又，矛盾！
若，
令，
則
（否則，矛盾?。?/p>
又，
，
，即
以為主元，
則
這與矛盾.
綜上，
遺憾的是，該方法雖然巧妙，但很難在次數(shù)和項(xiàng)數(shù)上做推廣.
（3）將（2）作為引理，可得：
若，
（
，
），則
有因式
.
證明：設(shè)，
?
令
設(shè)，
則
若，
則
（否則，由有理數(shù)運(yùn)算封閉性可知矛盾）
由（2）中的結(jié)論可知：
，
即
矛盾！
若中恰有一數(shù)為
，
顯然也有
矛盾！
注：稱為
的極小多項(xiàng)式.
事實(shí)上，證明（3）是我研究（2）的原因.
本文中的證明僅為個(gè)人方法，如有雷同，純屬巧合.
如果讀者有更好的方法，或者發(fā)現(xiàn)問題，歡迎指出！
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