# 有限元分析

目的:不求公式推導(dǎo)，大致懂得原理

在有些人劃分網(wǎng)格的時(shí)候，劃分網(wǎng)格的精細(xì)程度與它的精度有關(guān)的，帶來的結(jié)果是計(jì)算時(shí)間太長，了解這個(gè)可以大致掌握這兩者的一個(gè)平衡

高頻率要細(xì)化網(wǎng)格，或者尋找更高級的差值函數(shù)

* * *

## 第1節(jié) 概括

有限元分析類似于數(shù)值方法，結(jié)合差分法，變分法

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有限元分析，就是先大體按照差分法來劃分大的網(wǎng)格，然后在這個(gè)大的里面進(jìn)行，變分法擬合，劃分小網(wǎng)格，

有限元，它是對物理模型進(jìn)行離散的，

相比較于變分法來說，有限元法，它對不同的區(qū)域采用的是不同的擬合函數(shù)，

## 應(yīng)用：

靜力、動(dòng)態(tài)、熱場、電磁場、流場

* * *

## 第2節(jié)

彈性力學(xué)

1.平衡方程-（外力與應(yīng)力）

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2.幾何方程-（應(yīng)變與位移）

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3.物理方程-（應(yīng)力與應(yīng)變）

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神奇

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## 上面一共15個(gè)式子，15個(gè)未知量

在某些情況下，可以簡化為平面應(yīng)變問題、平面應(yīng)力問題，

虛位移原理

* * *

# 第三節(jié) 平面有限元

他想要以這個(gè)簡化的模型來闡述清楚有限元分析的一個(gè)步驟，

先是通過結(jié)構(gòu)離散，本來在現(xiàn)實(shí)生活中是無限連續(xù)的，在這個(gè)模型中是有限的節(jié)點(diǎn)，

三角形、四邊形、矩形

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這種離散就不行，很明顯，他的點(diǎn)放在了別人的邊上，這到底能不能移動(dòng)呢

節(jié)點(diǎn)的自由度

只要?jiǎng)澐趾霉?jié)點(diǎn)，將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的參數(shù)求出來，節(jié)點(diǎn)區(qū)域內(nèi)就是三角形區(qū)域里面是通過差值來得到的，

節(jié)點(diǎn)和三角區(qū)域是不能重復(fù)定義的，

## 利用節(jié)點(diǎn)得到多項(xiàng)式系數(shù)，從而確定三角區(qū)域

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直接通俗來講，就是只要知道三角形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)坐標(biāo)是根據(jù)力學(xué)那里求來的，而三角形內(nèi)部區(qū)域都是根據(jù)多項(xiàng)式插值來的，

引入了形函數(shù)：它將方程的右邊變?yōu)楣?jié)點(diǎn)的位移，而不是坐標(biāo)，左邊得到的是三角區(qū)域內(nèi)某一個(gè)點(diǎn)的位移，

三角形區(qū)域內(nèi)任意點(diǎn)的三個(gè)形函數(shù)相加為一，

在位移函數(shù)那里，是用的多項(xiàng)式，然后前面的系數(shù)是待求的，這個(gè)多項(xiàng)式是要滿足一定條件的，

* * *

## 第四節(jié)　操作順序

這里的順序有點(diǎn)混亂，

* 它是先得到節(jié)點(diǎn)的位移，通過位移得到了區(qū)域內(nèi)的位移，

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* 已知位移之后，通過幾何關(guān)系得到了應(yīng)變，

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* 然后運(yùn)用物理模型得到應(yīng)力，再用平衡方程得到外力

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這個(gè)公式的推導(dǎo)過程還用到了虛位移、虛功原理，可以對比彈簧的公式，右邊就是位移成一個(gè)剛度，左邊得到了力，

對這個(gè)公式進(jìn)行解讀，可以看到剛度矩陣的第2個(gè)字母跟位移q的下標(biāo)是一樣的，就是對于一個(gè)i點(diǎn)的力來說，他的力有三個(gè)部分來組成，而且這里的力絕對不是標(biāo)量，它是一個(gè)向量，如果這個(gè)點(diǎn)是有兩個(gè)自由度，也就是兩個(gè)維度，那么這里的力就是一個(gè)二維向量，

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## 總剛度矩陣

到現(xiàn)在基本就是求出來，對一個(gè)小的單元或者三角形節(jié)點(diǎn)，它的位移和外力的關(guān)系，要想知道它的位移，就要知道他的外力，對于一個(gè)小的區(qū)域來說，他的外力還包括其他各個(gè)小單元對它所施加的力，這些力對于一個(gè)大的總體來說相當(dāng)于內(nèi)力，現(xiàn)在的目的是要將這些內(nèi)力進(jìn)行一個(gè)抵消，所以需要構(gòu)造總剛度矩陣，

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最終得到了這樣的一個(gè)公式，這樣的公式右側(cè)是一個(gè)所有載荷也就是外力，經(jīng)過一個(gè)總剛度矩陣k之后，可以得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移，q，

現(xiàn)在有一個(gè)問題，就是劃分出的節(jié)點(diǎn)，想要知道節(jié)點(diǎn)的位移，這個(gè)位移應(yīng)該根據(jù)力來求，但這個(gè)力并不一定是作用在節(jié)點(diǎn)上的，比如是一個(gè)集中力，它可能作用在三角區(qū)域內(nèi)的某一點(diǎn)，這就需要將這個(gè)力進(jìn)行等效作用在節(jié)點(diǎn)上

## 施加約束條件

添加約束條件，比如說在邊界位移為零的時(shí)候，意義就是這個(gè)點(diǎn)被固定了，他需要對應(yīng)修改兩個(gè)地方，第1個(gè)是總剛度矩陣，由于它被固定相當(dāng)于它的剛度無窮大，就需要將剛度矩陣的對應(yīng)修改，第2個(gè)就是它的位移為0，所以方程的右邊表示它位移的地方也應(yīng)該對應(yīng)修改為0，

同樣在邊界，比如說位移為固定值的情況下，它會(huì)將這個(gè)點(diǎn)某個(gè)方向?qū)?yīng)的高度矩陣設(shè)置為一個(gè)非常大的值，同時(shí)將右側(cè)位移修改為這個(gè)比較大的值乘確定的位移

## 平均應(yīng)力

如果說這個(gè)平面比較大，而劃分的網(wǎng)格比較少的話，那么它的誤差可能會(huì)比較大，理想的情況是在每個(gè)小的網(wǎng)格的邊界處，它這個(gè)是收斂的應(yīng)力值，那誤差比較大的情況下，有可能就不連續(xù)了，這種情況下，邊界上的應(yīng)力值就會(huì)去相鄰兩個(gè)板塊的一個(gè)平均值，

* * *

# 第五節(jié) 軸對稱問題

最重要的問題就是它的坐標(biāo)系不再是笛卡坐標(biāo)系，換成圓柱坐標(biāo)系，

軸對稱就是由一個(gè)子午面繞一個(gè)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)一周得到，

它的基本單元是在桌面上劃分一個(gè)三角形小單元，然后將這個(gè)三角形小單元繞軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，

他在積分的時(shí)候還采用了簡化計(jì)算，直接采用三角形的行心

外力：重力、離心力

## 桿件/梁單元

它就是一根桿，左右兩端各有一個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的自由度都是3，所以總的自由度6，同樣是根據(jù)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移得到桿件的一個(gè)中間各點(diǎn)的位移，在插值的時(shí)候有6個(gè)參數(shù)，

同樣這里也求出了剛度矩陣，但是每個(gè)梁的坐標(biāo)系是不一樣的，它需要有一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到世界坐標(biāo)系的過程，在這個(gè)過程中，它的剛度矩陣也對應(yīng)著要轉(zhuǎn)變?yōu)槭澜缱鴺?biāo)系中的剛度矩陣，

* * *

## 第六節(jié)

### 一般情況

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### 薄板彎曲

對于矩形的模板，它是采用四邊形進(jìn)行離散

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## 第七節(jié) 動(dòng)態(tài)響應(yīng)

動(dòng)態(tài)響應(yīng)其實(shí)包括兩個(gè)方面，第1個(gè)方面你要分析這個(gè)零件，它本身的重要特性，就是固有頻率，然后再分析不同施加不同的載荷，

下面這個(gè)式子很明顯在最左邊添加的兩項(xiàng)，就是因?yàn)槲灰茣?huì)隨時(shí)間變化，

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在靜力學(xué)劃分網(wǎng)格的時(shí)候，要求對應(yīng)力集中的部分要細(xì)化網(wǎng)格，

但是在動(dòng)力學(xué)模型的時(shí)候，要求是盡量將這個(gè)網(wǎng)格均勻一點(diǎn)，

對于一個(gè)網(wǎng)格，它的方程跟前面進(jìn)學(xué)幾乎是一樣的，只不過增加了阻尼力和慣性力，所以這里增加了質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣都要合成

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## 第八節(jié)

有限元模型要為計(jì)算模型提供一些數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)

* 包括節(jié)點(diǎn)的編號，節(jié)點(diǎn)的數(shù)量，還有節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)系，

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* 單元網(wǎng)格的數(shù)據(jù)包括編號，材料特性，幾何形狀，

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* 邊界的載荷，包括這個(gè)載荷上力的大小，位移的限制，在熱學(xué)里面熱力溫度

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在計(jì)算機(jī)建模的過程中需要注意一個(gè)問題，在人的眼睛看來兩個(gè)點(diǎn)也許是重合的，但在計(jì)算機(jī)模型里面有可能這兩個(gè)點(diǎn)并不是一個(gè)點(diǎn)，盡管它在位置上是非常接近的，所以要進(jìn)行模型檢查

單元的特性定義，位移協(xié)調(diào)性

分析類型：要做一些力學(xué)上的分析，還是熱力學(xué)上的

## 劃分網(wǎng)格

這個(gè)步驟并不是隨便劃分的，在一定程度上是要對模型進(jìn)行一個(gè)簡化的，這個(gè)過程涉及到經(jīng)驗(yàn)，

* 簡化：對于一些細(xì)節(jié)影響較小的就可以用更簡單的模型去簡化減少計(jì)算時(shí)間，

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* 局部細(xì)化：但對于判斷可能出現(xiàn)應(yīng)力集中的地方，比如說內(nèi)導(dǎo)圓角之類的地方，這個(gè)地方是要進(jìn)行局部細(xì)化的，

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* 對稱簡化：有時(shí)候判斷對稱的結(jié)構(gòu)，只需要?jiǎng)澐忠话氲牟糠植考M(jìn)行計(jì)算就可以，

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## 約束條件

約束條件，性質(zhì)位移的時(shí)候，可能是某一個(gè)面的 x或者某一個(gè)方向進(jìn)行固定

## 建模型-簡化方法

理解有限元方法后，可以更加自由的對模型進(jìn)行簡化

有限元方法在頻率比較高的時(shí)候，它的誤差是比較大的，

在對動(dòng)態(tài)進(jìn)行分析的時(shí)候，應(yīng)力集中影響并不是很大，所以有時(shí)候打個(gè)孔都直接忽略掉了，

自己對這個(gè)零件的應(yīng)力或者機(jī)械特性一定要有所了解，就比如下面這張，他目的就是為了增加強(qiáng)度，所以直接把厚度給增加了，

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局部結(jié)構(gòu)：比如說某一塊兒變形比較大，相對于別的部件來說，可以把這一塊單獨(dú)拿出來，與別的部件相對靜止的部分做一個(gè)位移上的固定，

對稱：只算一半，對軸對稱面施加位移約束

周期對稱：比如齒輪的圓周，設(shè)置某對稱點(diǎn)的位移相同

注意：

* 如果將結(jié)構(gòu)進(jìn)行對稱的話，施加的載荷也有可能要減一半，

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* 在進(jìn)行軸對稱，也就是找一個(gè)面進(jìn)行拋開的時(shí)候，這個(gè)面盡量不要拋到應(yīng)力比較集中的地方，

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* 剛體單元：就是變形很小，直接讓它不變形，可以減少計(jì)算

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材料特性（各項(xiàng)同性，異性）

有時(shí)候是疊加復(fù)合材料

物理特性：慣性矩

* * *

## 第九節(jié) 網(wǎng)格質(zhì)量

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1的質(zhì)量不好

應(yīng)力梯度大的網(wǎng)格就要細(xì)

網(wǎng)格的粗細(xì)可能需要通過試探，在剛開始的時(shí)候，網(wǎng)格可以大一點(diǎn)，然后取網(wǎng)格為1/2，看這兩個(gè)兩者的結(jié)果誤差是否大，誤差大，說明還需要進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，

下面這張圖可以說明一些問題，大于一的比值是一致質(zhì)量，而在一下面的是集中質(zhì)量，

* 不論是已知質(zhì)量還是集中質(zhì)量，劃分網(wǎng)格的數(shù)量越多，越接近固有頻率，

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* 在相同網(wǎng)格數(shù)量的情況下，一致質(zhì)量它計(jì)算的精度要比集中質(zhì)量更高，

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* 在二階和四階的情況下，為了達(dá)到相同精度，四階需要的網(wǎng)格數(shù)量更多

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### 原則

* 在靜力分析里面，計(jì)算變形的話，需要的網(wǎng)格比較少，如果需要計(jì)算，接下來的應(yīng)對應(yīng)變需要在變形的基礎(chǔ)上計(jì)算，所以說誤差有可能放大，此時(shí)網(wǎng)格就需要比較細(xì)，

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* 計(jì)算高階模態(tài)的時(shí)候，為了達(dá)到同樣的精度的固有頻率，網(wǎng)格數(shù)量更多

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* 結(jié)構(gòu)不同部位采用大小不同過渡

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* 強(qiáng)制過渡，強(qiáng)制規(guī)定點(diǎn)和邊上的點(diǎn)相同位移，否則不協(xié)調(diào)

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? * ?或者?（自然過渡）

* 網(wǎng)格數(shù)量少，就提高單元階數(shù)，數(shù)量多的話使用線性也行

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* 就是提高精度可以有兩條路徑，一種是將網(wǎng)格的數(shù)量變多，另一種就是提高擬合的階數(shù)

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* 在靜力學(xué)的時(shí)候，網(wǎng)格大小就要有一個(gè)過度，這樣的話可以增加精度同時(shí)控制計(jì)算時(shí)間，但是在動(dòng)力學(xué)方面要求網(wǎng)格盡量去均勻，此時(shí)網(wǎng)格可能就比較大，這個(gè)時(shí)候就要增加階數(shù)

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* 網(wǎng)格劃分的邊界線，要和材料相匹配，材料如果在這邊變了的話，一定要畫在一個(gè)邊界線，或者施加載荷，不同的話也也要?jiǎng)澐珠_，

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* 如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)編號一樣，說明位移一樣，此時(shí)兩節(jié)點(diǎn)之間可以理解為剛體

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他會(huì)先大概的劃分網(wǎng)格，然后我通過快速的計(jì)算觀察哪里的應(yīng)力比較大，然后再在應(yīng)力比較大的地方去細(xì)分網(wǎng)格，

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* * *

# 第十節(jié) 模型檢查與處理

網(wǎng)格質(zhì)量：越方正越好，細(xì)長比

? ? 關(guān)鍵部位《2，次要《10

錐度比：也是接近1

網(wǎng)格內(nèi)角：三角形不《15 四邊形不《45

四邊形不要翹起來

### 檢查重合節(jié)點(diǎn)

檢查模型自由邊界，檢查節(jié)點(diǎn)距離

遺漏的單元

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節(jié)點(diǎn)編號：盡量點(diǎn)接近數(shù)字也接近

* * *

## 位移約束：必須的，尤其在對稱簡化，或者近似的不平衡力

位移約束的目的就是讓這個(gè)物體不要有剛體運(yùn)動(dòng)，它在將結(jié)構(gòu)為了減少計(jì)算量，而進(jìn)行對稱簡化的時(shí)候尤其有作用，

* 不要讓它有剛體位移，這樣矩陣是奇異的

約束不足要增加約束

* 人為增加約束：盡量在位移小的地方，要遠(yuǎn)離關(guān)鍵部位

坐標(biāo)系：可以自己定義（直角，圓柱，球）

* 剛性約束

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? * 固定約束，6個(gè)約束直接不能移動(dòng)

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? * 滑動(dòng)約束

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? * 滾動(dòng)約束

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* 彈性約束

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* 強(qiáng)迫約束

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* 相關(guān)位移約束：用等式來表示

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? ### 分布計(jì)算法：操作步驟，應(yīng)力部分好

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? 他會(huì)先大體的劃分網(wǎng)格，然后找到網(wǎng)格上應(yīng)力比較大的地方，然后把這地方挖出來，作為一個(gè)局部的單元，然后與其他連接的部分，作為一個(gè)新的約束條件，去單獨(dú)給這個(gè)細(xì)化過的局部進(jìn)行再計(jì)算，

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? ### 局部分析法：受力部分面積很小

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? 相比于前面的分布計(jì)算法，最大的不同是，前者的位移是基本都有的，只不過是在某個(gè)地方，它的應(yīng)力變化比較大而已，而局部分析法的話，某一部分他的位移基本叫不動(dòng)，所以會(huì)把受力的那部分拿出來，把其他部分直接當(dāng)做剛體，位移約束為０有一種方法就是，他還是大概的粗網(wǎng)格區(qū)，劃分一個(gè)區(qū)域，看看哪里的位移確實(shí)很小，如果很小的話還可以進(jìn)一步減小這個(gè)空間范圍，但是可以將那里面的網(wǎng)更加細(xì)也可以同樣的劃分網(wǎng)格，然后我們將這個(gè)網(wǎng)格更加細(xì)化，將這二者的結(jié)果進(jìn)行對比，如果說結(jié)果誤差大于5%，那么說明還有優(yōu)化的空間，網(wǎng)格需要進(jìn)一步細(xì)化，如果說是一個(gè)東西放在某個(gè)基座上面，他倆的連接直接就可以劃分為一體化，只不過是賦予不同的材料屬性，或者說你分為兩個(gè)東西，但是要把他們的位移通過剛性約束約束起來，偶合起來，