史濟(jì)懷老師視頻課微分方程部分——

&2.一階微分方程

&2.3一階線性方程

先把之前聊過(guò)的內(nèi)容復(fù)習(xí)一下——

線性方程——顧名思義，就是里面每一個(gè)含未知量x的項(xiàng)都是一次的。

原因在于，F(xiàn)（x）=ax+b=a1x1+a2x2+……+anxn+b，所生成的圖像是一條直線，顧名思義，線性函數(shù)，于是形如0=ax+b就是線性方程了，這也是為什么，在常微分方程課程中，線性代數(shù)的內(nèi)容依然很重要的原因。

非線性方程，往往可以采取局部分析的方法，轉(zhuǎn)化為線性方程，所以線性方程可以說(shuō)是微分方程的基礎(chǔ)內(nèi)容。

依然按照從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的順序，最簡(jiǎn)單的線性方程是一階線性微分方程，所以我們就從這種類型開(kāi)始了。

一階線性微分方程——即只含有一階導(dǎo)數(shù)的線性微分方程，形如dy/dx+P（x）y=Q（x）的微分方程?！浑A線性微分方程又分為兩種——

齊次方程——Q（x）恒為0；

非齊次方程——Q（x）不恒為0。

注意：

1. 這里的齊次方程不要和之前的齊次方程混淆，是兩個(gè)完全不同概念；

2. 非齊次方程的解可由齊次方程的解獲得，所以先解決齊次方程的解即可。

一階齊次線性方程的通解——

1. dy/dx+P（x）y=0，可得到dy/y=-P（x）dx——變量分離的方程，兩邊取積分；

2. ln |y|=-∫?P（x）dx+C1，即y=Ce^（-∫?P（x）dx）——其中C的取值取決于C1，C=e^C1或C=-e^C1。

   注意——綠字部分的解是要背下來(lái)的。

一階非齊次線性方程的通解——常數(shù)變易法：利用齊次方程的通解y=Ce^（-∫?P（x）dx）——（重點(diǎn)?。?！）——

1. 方程形如dy/dx+P（x）y=Q（x），其中Q（x）不恒為0；

2. 將齊次方程通解中C換成未知函數(shù)u（x），即y=ue^（-∫?P（x）dx）；

3. 由2得dy/dx=u'e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）；

4. 將2、3代入1，得dy/dx+P（x）y=[u‘e^（-∫?P（x）dx）-uP（x）e^（-∫?P（x）dx）]+P（x）ue^（-∫?P（x）dx）=Q（x）；——注意到綠色部分可以消去；

5. 由4解出u（x）——

   u‘e^（-∫?P（x）dx）=Q（x），u'=Q（x）e^（∫?P（x）dx），

   u=∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C；

6. 將5代入2中，y=e^（-∫?P（x）dx）（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx+C）；

7. 將6中式子改寫得到，y=Ce^（-∫?P（x）dx）+[e^（-∫?P（x）dx）]（∫?[Q（x）e^（∫?P（x）dx）]dx）；

   注意：

   1.第一項(xiàng)（紅色部分），為齊次線性方程的通解；

   2.第二項(xiàng)（綠色部分），為非齊次線性方程的一個(gè)特解（C=0時(shí)）。

例子——解方程dy/dx-y/x=-1

分析：對(duì)比一階線性微分方程的形式，找出P（x）、Q（x），在這里，P（x）=-1/x，Q（x）=-1。

解（常數(shù)變易法）：

step1.先找出該方程對(duì)應(yīng)齊次方程dy/dx-y/x=0的通解——

套公式：y=Ce^（-∫?P（x）dx）=Ce^[-∫?（-1/x）dx]=Ce^[∫?（1/x）dx]=Ce^（ln|x|）=C|x|=Cx

注：因?yàn)镃為任意常數(shù)，故而絕對(duì)值符號(hào)可去。

step2.找出該方程的一個(gè)特解——

1. 設(shè)特解y=u（x）e^（-∫?P（x）dx）=u（x）x——其中u（x）為關(guān)于x的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dy/dx=d[u（x）x]/dx=u'（x）x+u（x）；

3. 將1，2代入原方程得：dy/dx-y/x=u'（x）x+u（x）-u（x）x/x=u'（x）x=-1；

4. 由3，u'（x）=-1/x，則u（x）=-ln|x|+C'——其中C'為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)'=0；

5. 綜上求出該方程一個(gè)特解y=-xln|x|。

step3.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得y=xln|x|+Cx——其中C為任意常數(shù)。

例子——解方程dy/dx=y/（2y^2+y-x）

分析——

1. 先將該方程化成一階線性方程的形式，dx/dy=2y+1-x/y，即dx/dy+x/y=2y+1——如果把x當(dāng)做自變量，方程形式較復(fù)雜，把y當(dāng)做自變量會(huì)更容易處理，啟示是遇到分母較復(fù)雜而分子較簡(jiǎn)單的形式，不如分析其倒數(shù)更方便；

2. 找出P（y）、Q（y），在這里，P（y）=1/y，Q（y）=2y+1。

解（常數(shù)變易法）：

step1.先找出該方程對(duì)應(yīng)齊次方程dx/dy+x/y=0的通解——

套公式：x=Ce^（-∫?P（y）dy）=Ce^[-∫?（1/y）dy=Ce^（-ln|y|）=C|1/y|=C/y

注：因?yàn)镃為任意常數(shù)，故而絕對(duì)值符號(hào)可去。

step2.找出該方程的一個(gè)特解——

1. 設(shè)特解x=u（y）e^（-∫?P（y）dy）=u（y）/y——其中u（y）為關(guān)于y的未知待定函數(shù)；

2. 由1，dx/dy=d[u（y）/y]/dy=[u'（y）y-u（y）]/y^2；

3. 將1，2代入原方程得：dx/dy+x/y=[u'（y）y-u（y）]/y^2+u（y）/y^2=u'（y）/y=2y+1；

4. 由3，u'（y）=2y^2+y，則u（y）=2y^3/3+y^2/2+C'——其中C'為任意常數(shù)，為了方便，我們?nèi)'=0；

5. 綜上求出該方程一個(gè)特解x=（2y^3/3+y^2/2）/y=2y^2/3+y/2。

step3.將a中的通解與b中的特解相加即為該方程的通解——

解得x=2y^2/3+y/2+C/y——其中C為任意常數(shù)。