【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-08分式的乘方『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-29 15:22 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個措手不及。

第五章分式?

§5-8分式的乘方

【01】根據(jù)乘方的意義，并且應(yīng)用分式的乘法法則，我們很容易做分式的乘方。

【02】例如： $%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%20ba%5Cright)%5E2%3D%5Cfrac%20ba%5Ccdot%5Cfrac%20ba%3D%5Cfrac%7Bb%5E2%7D%7Ba%5E2%7D%2C%5C%3B%5Cleft(%5Cfrac%20ba%5Cright)%5E3%3D%5Cfrac%20ba%5Ccdot%5Cfrac%20ba%5Ccdot%5Cfrac%20ba%3D%5Cfrac%7Bb%5E3%7D%7Ba%5E3%7D$ ? 。

【03】一般地有： $%5Csmall%5Cleft(%5Cfrac%20ba%5Cright)%5En%3D%5Cfrac%20ba%5Cunderbrace%7B%5Ccdot%5Cfrac%20ba%5Ccdots%5Cfrac%20ba%7D_%7Bn%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7D%20%3D%20%5Cfrac%20%7B%20%5Coverbrace%20%7B%20b%20%5Ccdot%20b%20%5Ccdots%20b%20%7D%5E%7Bn%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7D%20%7D%7B%20%5Cunderbrace%20%7B%20a%C2%B7%20a%20%5Ccdots%20a%20%7D_%7Bn%5Ctext%7B%E4%B8%AA%7D%7D%20%7D%3D%5Cfrac%7Bb%5En%7D%7Ba%5En%7D$ ? 。

【04】分式乘方法則：分式乘方，分子分母各自乘方。即 $%5Cleft(%5Cfrac%20ba%5Cright)%5En%3D%5Cfrac%7Bb%5En%7D%7Ba%5En%7D$ （m 是任意自然數(shù)）。

例1.計算： $%5Cscriptsize%5Cleft(%5Cfrac%7B4b%5E3x%7D%7B3a%5E2%7D%5Cright)%5E3$ 。

【解】 $%5Csmall%5Cleft(%5Cfrac%7B4b%5E3x%7D%7B3a%5E2%7D%5Cright)%5E3%3D%5Cfrac%7B(4b%5E3x)%5E3%7D%7B(3a%5E2)%5E3%7D%3D%5Cfrac%7B64b%5E9x%5E3%7D%7B27a%5E6%7D.$

例2.計算： $%5Cscriptsize%5Cleft(-%5Cfrac%7B3x%5E5y%5E6%7D%7B2a%5E3b%5E4%7D%5Cright)%5E5$ 。

【解】 $%5Csmall%5Cleft(-%5Cfrac%7B3x%5E%7B5%7Dy%5E%7B6%7D%7D%7B2a%5E%7B3%7Db%5E%7B4%7D%7D%5Cright)%5E%7B5%7D%3D(-1)%5E%7B5%7D%5Cfrac%7B%5Cleft(3x%5E%7B5%7Dy%5E%7B6%7D%5Cright)%5E%7B5%7D%7D%7B%5Cleft(2a%5E%7B3%7Db%5E%7B4%7D%5Cright)%5E%7B5%7D%7D%3D-%5Cfrac%7B243x%5E%7B25%7Dy%5E%7B30%7D%7D%7B32a%5E%7B15%7Db%5E%7B20%7D%7D.$

例3.計算： $%5Cscriptsize%5Cleft%5B-%5Cfrac%7Bx%5E2y%5E3%7D%7B3%5Cleft(x%2By%5Cright)%7D%5Cright%5D%5E4%C2%B7%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E2-y%5E2%7D%7Bx%5E2y%5E2%7D%5Cright)%5E3$ 。

【解】

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%26%5Cleft%5B-%5Cfrac%7Bx%5E2y%5E3%7D%7B3%5Cleft(x%2By%5Cright)%7D%5Cright%5D%5E4%5Cboldsymbol%7B%5Ccdot%7D%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E2-y%5E2%7D%7Bx%5E2y%5E2%7D%5Cright)%5E3%20%5C%5C%0A%26%3D%2B%5Cfrac%7Bx%5E8y%5E%7B12%7D%7D%7B81%5Cleft(x%2By%5Cright)%5E4%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B(x%2By)%5E3(x-y)%5E3%7D%7Bx%5E6y%5E6%7D%20%5C%5C%0A%0A%26%3D%5Cfrac%7Bx%5E2y%5E6(x-y)%5E3%7D%7B81%5Cleft(x%2By%5Cright)%7D.%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【注意】分式乘方時，如果分子分母是積的形式，應(yīng)按照積的乘方法則進行。

習(xí)題5-8

計算：

$%5Csmall%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%261%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B3y%5E2%7D%7B2x%5E3%7D%5Cright)%5E5.%5C%5C%0A%262%E3%80%81%5Cleft(-%5Cfrac%7B3b%5E3y%5E4%7D%7B5a%5E2x%5E2%7D%5Cright)%5E3.%5C%5C%0A%263%E3%80%81%5Cleft(-%5Cfrac%7B5a%5E3y%5E4%7D%7B4bx%5E5%7D%5Cright)%5E4.%5C%5C%0A%264%E3%80%81%5Cleft%5B%5Cfrac%7B5(x%2By)%7D%7B2(x-y)%7D%5Cright%5D%5E3.%5C%5C%0A%265%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7Bx%5E2y%5E2%7D%7Bx%5E2-y%5E2%7D%5Cright)%5E3%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7By%5E2-x%5E2%7D%7Bx%5E3y%5E3%7D%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%266%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7Ba%5E2%2Bb%5E2%7D%7Ba%5E2-b%5E2%7D%5Cright)%5E3%5Ccdot%5Cleft%5B%5Cfrac%7B(a-b)%5E2%7D%7B(a%2Bb)%5E3%7D%5Cright%5D%5E3.%5C%5C%0A%267%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7Ba%5E2%2B2ab%2Bb%5E2%7D%7Ba%5E2-2ab%2Bb%5E2%7D%5Cright)%5E3%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%7Bb%5E2-a%5E2%7D%7Ba%2Bb%7D%5Cright)%5E3.%5C%5C%0A%268%E3%80%81%5Cleft(%5Cfrac%7B5xy%7D%7Bx%5E2%2Bxy%7D%5Cright)%5E2%5Ccdot%5Cleft(-%5Cfrac%7Bxy%2By%5E2%7D%7B2x%5E2y%5E2%7D%5Cright)%5E3.%20%5C%5C%0A%269%E3%80%81%5Cleft(1%2B%5Cfrac%7Ba-b%7D%7Ba%2Bb%7D%5Cright)%5E2%5Ccdot%5Cleft(1%2B%5Cfrac%20ba%5Cright)%5E2.%5C%5C%0A%2610%E3%80%81-%5Cleft(1-%5Cfrac%20yx%5Cright)%5E6%5Ccdot%5Cleft(%5Cfrac%20x%7By-x%7D%5Cright)%5E5.%20%0A%5Cend%7Baligned%7D$

【答案】 $%5Cscriptsize7%E3%80%81-%5Cfrac%7B(a%2Bb)%5E%7B6%7D%7D%7B(a-b)%5E%7B3%7D%7D%3B%5C%3B8%E3%80%81-%5Cfrac%7B25(x%2By)%7D%7B8x%5E%7B6%7Dy%7D%3B%5C%3B9%E3%80%814%3B%5C%3B10%E3%80%81%5Cfrac%7Bx-y%7Dx.$

標(biāo)簽：

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【種花家務(wù)·代數(shù)】1-5-08分式的乘方『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

習(xí)題5-8