本文主要講卷積碼的 BCJR 譯碼算法。需要知道卷積碼的基本原理和一些概率知識。我們會推導譯碼算法的公式，并以具體的例子來講解 BCJR 的譯碼過程。

錄制的視頻在：https://www.bilibili.com/video/BV1n24y1i7Dh/

我們知道，卷積碼是一種狀態(tài)機，卷積碼編碼器中寄存器的數據就是狀態(tài)，當前狀態(tài)已知的條件下，當前狀態(tài)的輸出，至于當前的輸入有關，而與過去的狀態(tài)和輸入無關，這就是馬爾可夫（Markov）性。

在收到的數據為:

則，為了譯碼第 t 時刻的發(fā)送比特，我們計算這個后驗概率

在 t 時刻，當前狀態(tài)為?

下一個狀態(tài)為 ?

我們把輸入為 0 時的狀態(tài)轉移的集合，記為?
我們把輸入為 1 時的狀態(tài)轉移的集合，記為?

則：

和

所以，關鍵點是計算如下這個概率：

我們做一下推導：

因此，我們需要計算這個聯合概率：

我們把 r 分成三部分，一部分是 t 時刻以前的接收數據，一部分是 t 時刻接收的數據，一部分是 t 時刻之后接收的數據：

則：


我們再來分析公式 (1) 中后半部分


把 (2) 代入 (1) 有：

我們來看一下公式 (3) 的含義：
我們要分析當前狀態(tài)為 p，下一個狀態(tài)為 q ，且接收到數據為 r? 這個聯合概率，那么這個概率由三部分相乘得到：
(1) t 時刻之前接收到的數據為 ，且到達了 t 時刻的狀態(tài) 為 p 的概率：

(2) t 時刻狀態(tài)為 p 的條件下，到達下一個狀態(tài) 為 q 且收到數據為? 的概率

(3) t+1時刻狀態(tài)為 q 的條件下，t 時刻之后的輸出為? 的概率


那么：

我們舉個例子來說明：

我們使用卷積碼：


則結構如下：

也可以畫成下圖，兩者是等價的：

則其狀態(tài)轉移柵格圖為：

假如我們要編碼 10 個比特，從狀態(tài) 00 出發(fā)，編碼結束后回到 00 狀態(tài)，則所有可能路徑有：

假如我們編碼的比特? x=[1, 1, 0, 0, 1, 0,? 1, 0, 1, 1]

則輸出比特為? V=[11? 11? 01? 01? 10? 01? 11?? 01? 10? 10]

編碼路徑如上圖中紅色所示。



我們假如要計算如下這個概率

注意上面公式中每個?? 其實是接收到的兩個數據，分別對應? 通過信道發(fā)送后得到的數據（這里要稍微注意一下，我們用 BPSK，則 0--> -1,? 1---->1 ， 發(fā)送的是 -1 或者 +1).

輸入 為 比特 1， 對應的狀態(tài)轉移有如下幾種情況：

所以：

那么公式 (4) 中任何一個求和都可以按照下面這個例子來展開，我們以? 為例：