利用泰勒展開解決高考數(shù)學(xué)高難函數(shù)比大小問(wèn)題
大家好啊，高考數(shù)學(xué)函數(shù)比大小來(lái)說(shuō)我感覺(jué)大致可以分成兩類題型：一類是找特殊點(diǎn)兩者比大?。ū热?，1,1/2），一類是從結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造函數(shù)。哎這么一想感覺(jué)還挺簡(jiǎn)單的吧？我起初也是這么想的，直到看見了這道題......
答案是這么寫的：
答案第一步是這么設(shè)出來(lái)的
可以看到，在答案給出的思路中，你不僅需要看出三個(gè)式子中的共性來(lái)構(gòu)造函數(shù)，還要利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，甚至在比較a和c中還要用到二階導(dǎo)，直接將這道函數(shù)比大小的難度升到極致。可是，如果用大學(xué)思維來(lái)解這道題，只需幾步就可以將其完美解掉，這就是泰勒展開，以下是泰勒公式的推導(dǎo)：
（注：本人只是一個(gè)高二生，對(duì)大學(xué)知識(shí)了解很少，如果后面說(shuō)的內(nèi)容有錯(cuò)誤還請(qǐng)多多寬容，我及時(shí)把它改正，謝謝啦）
首先我們根據(jù)微積分可知：
這樣，我們就用一次表達(dá)式，或者說(shuō)用冪函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)來(lái)近似了此函數(shù)，但這顯然是不夠精確的，它只是擬合了一小段函數(shù)，我們需要用更高階的多項(xiàng)式去擬合此函數(shù)，如下圖。
此時(shí)我們就要進(jìn)行對(duì)它的每一項(xiàng)進(jìn)行求導(dǎo)，是幾項(xiàng)式就用幾階導(dǎo)。但是我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)進(jìn)行二階導(dǎo)，然后將x=x0的時(shí)候，會(huì)多出一個(gè)系數(shù)2，后面都會(huì)多出一個(gè)系數(shù)?，這時(shí)我們發(fā)現(xiàn)如果用n階導(dǎo)的同時(shí)除以n的階乘（
）正好可以抵消系數(shù)的影響，于是我們就得到了泰勒中值定理一，即如果函數(shù)在
處具有n階導(dǎo)數(shù)，那么存在
的一個(gè)值域，對(duì)于該領(lǐng)域的任一x，有：
其中
到這里，咱們應(yīng)該也有一點(diǎn)感覺(jué)了，其實(shí)泰勒公式本質(zhì)就是在反復(fù)求導(dǎo)，將某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值轉(zhuǎn)化為函數(shù)值，從而精確擬合函數(shù)，我們?nèi)〉亩囗?xiàng)式越多，我們的函數(shù)就越精確，這里我也用了一個(gè)圖來(lái)模擬了一下：
如果式子中X0取0，我們可以得到麥克勞林公式：
其實(shí)即使前面什么也沒(méi)看懂，對(duì)于高中生（比如我）來(lái)說(shuō)，真正有用的就是麥克勞林公式。為什么呢？比如我們將代入上面的公式，可以得到：
（這里僅取了三項(xiàng)，一般取三項(xiàng)已經(jīng)足夠，不夠可以通過(guò)公式再取），這時(shí)我們代入一個(gè)值比如x=0.3（雖然麥克勞林公式是在x=0時(shí)成立的，但0.3也很接近0，所以可以用來(lái)進(jìn)行估算）我們可以用此式子算到是1.34950000，而用計(jì)算機(jī)算出來(lái)的數(shù)據(jù)是1.34985881，小數(shù)點(diǎn)后三位一模一樣，而我們只取了其中的三項(xiàng)，如果我們繼續(xù)去取更多項(xiàng)，我們就能得到更精確的數(shù)據(jù)，也就是你取的項(xiàng)數(shù)越多，算出來(lái)數(shù)據(jù)越精確，這個(gè)公式可真厲害！它竟然能讓我們不用計(jì)算機(jī)就能極其精確的去算出函數(shù)值。不過(guò)這里也有有一些限制，當(dāng)我們的x越接近于零，我們算的數(shù)就越精確，但當(dāng)x越大，我們的數(shù)據(jù)往往不太精確，所以建議要用此式子估數(shù)時(shí)，x最好小于等于0.1。
這里給出一些常見的泰勒展開公式方便大家使用（x=0時(shí)）：
好了，那知道了這些，讓我們?cè)倏纯辞懊娴哪堑李}：
簡(jiǎn)單的加減乘除就完美解決了這道題
下圖為2021全國(guó)乙卷最后一道選擇題，用麥克勞林公式比答案的方法簡(jiǎn)單了不少，可以試試（挺難算的）
當(dāng)然啦，絕大多數(shù)的比大小問(wèn)題還是很簡(jiǎn)單的，基本在高考也用不上，只是少有的出現(xiàn)了幾次偏難一點(diǎn)的用大學(xué)知識(shí)更好做而已，所以還是要記牢常見的函數(shù)比大小解題方法，即使要用這個(gè)也是萬(wàn)不得已或者題目過(guò)于復(fù)雜，且x要接近0（小于等于0.1）的時(shí)候再用。
