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S6G1L5 點(diǎn)列的回歸曲線

2020-06-08 23:08 作者:學(xué)用數(shù)學(xué) 0人讀過 | 我要投稿

給定一串點(diǎn)列，如何找到合適的擬合曲線呢？在 Geogebra 中已經(jīng)內(nèi)建統(tǒng)計(jì)數(shù)值分析模型，方便我們直接獲取數(shù)據(jù)的一維與二維的統(tǒng)計(jì)資料分析。在二維的數(shù)據(jù)分析中，還可切換?[線性/指數(shù)/成長曲線/多項(xiàng)式/邏輯擬合] 等回歸模型。在這次案例，我以【學(xué)用數(shù)學(xué)】公眾號(hào)的關(guān)注人數(shù)來作一個(gè)初步的回歸分析。

背景說明

這次分析的資料是 [學(xué)用數(shù)學(xué)] 從 2019/10/24 到 2020/6/3 公眾號(hào)的訂閱人數(shù)數(shù)據(jù)。在用線型回歸模型時(shí)，得到回歸直線為? y=4?x + 21?。表示這段期間在以每日 4 人的數(shù)量在增加。

但這圖形后半段的增幅較大，若對(duì)?2020/4/1 到 2020/5/3 作回歸分析可得 y = 7.3x?-?590 。在這一個(gè)月是以每天7.3 人的增量在增長。而在在 2019/10/24~2020/3/31?這60天的平均日增約是 3 人。

若用【成長曲線】來作回歸可得 y = 92*1.012^x 。在回歸選項(xiàng)中還有個(gè)【指數(shù)曲線】也是會(huì)得到相同的函數(shù)，只不過在其解析式是用 e 為底來表示，在此例寫為 y = 92xe^(0.01x) 。

然而對(duì)于人口規(guī)模模型，一般都無法持續(xù)等比增長，比較合理的增長都是用 logistic 回歸（邏輯斯蒂曲線擬合）。在這模型會(huì)有個(gè)數(shù)量的最大上限，以目前這個(gè)數(shù)據(jù)得到的數(shù)值為 2975。

而我期待在 40歲生日前關(guān)注人數(shù)達(dá)到 14610 人，利用這個(gè)預(yù)期數(shù)據(jù)找出如下幾類擬合曲線。

以指數(shù)擬合，每日 1.01倍再增長，則其函數(shù)為 y=79.5*1.01^x?。

若用 Logistic 擬合，設(shè)定通過 (224,1024), (524,14610), (730,16384) 這三點(diǎn)，則得到函數(shù)為 y = 16472/(1+534*exp(-0.02x))。

用三次多項(xiàng)式擬合現(xiàn)有的數(shù)據(jù)得到的為藍(lán)色曲線，y=0.000169x^3-0.05x^2+7.13x 。

學(xué)習(xí)指引：

這次主要是認(rèn)識(shí) Geogbra 的曲線擬合功能。這次定位為 Lv?4?的難度，在學(xué)習(xí)這個(gè)課程時(shí)。若是 Lv1~2?的新手，可只完成【任務(wù)一】的部分，同時(shí)建議復(fù)習(xí)基礎(chǔ)教程中的? 《S411L3?表格區(qū)與遞回關(guān)系》的基礎(chǔ)教學(xué)視頻。在【任務(wù)二】將利用序列對(duì)原資料作些重新取樣與調(diào)整。在【任務(wù)三】會(huì)在了解、[多項(xiàng)式擬合]與[邏輯斯蒂擬合]

基礎(chǔ)教程

S411L3 表格區(qū)與遞回關(guān)系

https://mp.weixin.qq.com/s/Pt4NGNhE3Pjp8jruv83GYg

https://www.bilibili.com/video/BV14x41197wy/

數(shù)學(xué)思維

理解線性擬合與直線回歸方程
理解曲線擬合

Geogebra 技能

利用表格區(qū)的[雙變數(shù)回歸分析]
[多項(xiàng)式擬合]、[邏輯斯蒂曲線擬合]

任務(wù)一：利用表格區(qū)作擬合曲線

【目的】將表格區(qū)的資料作雙變數(shù)回歸分析。

數(shù)據(jù)資料：?https://ggb123.cn/classic/hkbw56jh

階段作品：https://ggb123.cn/classic/eqqupmtq

【分析】GGB 已內(nèi)建回歸曲線繪制功能，從?[表格區(qū)]?點(diǎn)選資料，就可一鍵生成回歸分析的圖。并可切換?[線性/指數(shù)/成長曲線/多項(xiàng)式/邏輯擬合] 等回歸模型，獲得對(duì)應(yīng)的回歸解析式以及函數(shù)圖像。

【操作】

1. 先由? https://ggb123.cn/classic/hkbw56jh 打開含數(shù)據(jù)資料的 GGB，另存一份獲取資料。

2.通過以下步驟，來取得數(shù)據(jù)的回歸模型，可切換模型觀察不同模型的回歸曲線。得到回歸模型函數(shù)后，可以計(jì)算預(yù)測點(diǎn)的數(shù)值。

（1）選取欄位資料，（2）點(diǎn)選【雙變數(shù)回歸分析】（3）選取合適的回歸模型

3. 可點(diǎn)選上方的統(tǒng)計(jì)資料觀察到相關(guān)系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差等資料。另外，也可顯示殘差圖。

任務(wù)二：重新取樣后再作擬合曲線

【目的】要對(duì)表格的數(shù)據(jù)作些重新的采樣，觀察不同采樣數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，回歸曲線的變化。

階段作品： https://ggb123.cn/classic/f5vta8ra?

【分析】可將圖像同步到代數(shù)區(qū)與繪圖區(qū)，同步后可得到原始資料的list，通過滑動(dòng)條 start, end, gap 來控制取樣的范圍，得到新的點(diǎn)列。再對(duì)這點(diǎn)列利用多項(xiàng)式擬合、指數(shù)擬合得到新的擬合函數(shù)。

【操作】

從統(tǒng)計(jì)圖表區(qū)，點(diǎn)選上方的復(fù)制到繪圖區(qū)

2. 建立三個(gè)滑動(dòng)條 start, end, gap

n = 224?

start = 滑動(dòng)條(1,n,1)

end = 滑動(dòng)條(1,n,1)

gap =?滑動(dòng)條(1,30,1)

lgap?= 序列(l1(k), k, start, end, gap)

fp3 =多項(xiàng)式擬合(lgap,3)

fp1?=多項(xiàng)式擬合(lgap,1)

fexp?=生長曲線擬合(lgap)

任務(wù)三：邏輯斯蒂曲線擬合的探討

【目的】當(dāng)預(yù)期在 x=524, y=14610 ，那該找個(gè)哪類擬合曲線較合適。

階段作品： https://ggb123.cn/classic/rrhedvc2

【分析】我們想基于現(xiàn)有的幾個(gè)取樣點(diǎn) (69,331), (160,520), (224,1024) (524,14610) 來找到合適的擬合曲線。其中利用四個(gè)點(diǎn)可以擬合三次以下的多項(xiàng)式。我們將設(shè)定一個(gè)滑動(dòng)條k 來觀察不同次數(shù)的擬合多項(xiàng)式。

但對(duì)于人口增長的模型，通常有個(gè)最大上限，這時(shí)比較好的模型是用邏輯斯蒂曲線擬合。我們?cè)僭黾右粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)來觀察不同最大值時(shí)的邏輯斯蒂曲線擬合。

【操作】先建立幾個(gè)取樣點(diǎn)再直接套用擬合函數(shù)。

建立擬合點(diǎn)

P1=(69,331)

P2 =(160,520)

P3=(224,1024)

P4=(524,14610)

P5=(730,16384)

Ps = {P1,P2,P3,P4,P5}

2. 設(shè)定擬合曲線

k=3

pkl1?=?多項(xiàng)式擬合(l1,k)

pkps =? 多項(xiàng)式擬合(Ps,k)

logil1?=?邏輯斯蒂曲線擬合(l1)

logips =??邏輯斯蒂曲線擬合(Ps)

延伸練習(xí)

你可使用以下資料 Covid-19?的全球感染人數(shù)，來作個(gè)相關(guān)練習(xí)

資料：https://ggb123.cn/m/hupayr28

參考作業(yè)：https://www.geogebra.org/m/gqjapce9#chapter/496526

小結(jié)

統(tǒng)計(jì)這類要需要大量計(jì)算的問題，就適合搭配 Geogebra 等計(jì)算軟件來進(jìn)行教學(xué)。Geogebra 現(xiàn)在內(nèi)建很多統(tǒng)計(jì)相關(guān)函數(shù)，可以一個(gè)指令就快速調(diào)用這些統(tǒng)計(jì)函數(shù)。這次的任務(wù)主要介紹?GGB 的統(tǒng)計(jì)的回歸分析功能，可看到除了直線回歸，還可作到多項(xiàng)式、指數(shù)、邏輯斯蒂曲線回歸等功能。本次任務(wù)除了讓大家認(rèn)識(shí)回歸功能外，也希望介紹邏輯斯蒂曲線這函數(shù)。讓大家從「用數(shù)學(xué)」的角度來欣賞數(shù)學(xué)的實(shí)用之美。

限時(shí)挑戰(zhàn)

歡迎加微信 Acchu0331 入群打卡學(xué)習(xí)，每次任務(wù)有 20 元獎(jiǎng)勵(lì)紅包。此次任務(wù)小打卡中獲得最多贊可得 8元人氣獎(jiǎng)，另抽一位打卡者獲得手氣獎(jiǎng) 8元。另外，還有 4?個(gè) 總額 4元的隨機(jī)紅包為關(guān)注獎(jiǎng)。本次任務(wù)的打卡期限為 2020/6/23。請(qǐng)參考視頻，交一份作業(yè)在小打卡內(nèi)，附上作品截圖或動(dòng)圖，并寫下 32 字以上的心得，如以下格式。

任務(wù)：S6G1?點(diǎn)列的回歸曲線

姓名：朱安強(qiáng)

心得：Geogebr 的統(tǒng)計(jì)功能真的很方便，可以快速計(jì)算出各類回歸模型，且還可在代數(shù)區(qū)作后續(xù)的加工調(diào)整。使得方便改變樣本點(diǎn)就可即時(shí)觀看回歸曲線的變化。

作品：https://www.geogebra.org/m/jbteh5tc

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