【一 · 三角函數(shù)與其圖像變換】

（前置知識(shí) · 弧度制——請(qǐng)先了解該概念后再閱讀該部分內(nèi)容，你可以在B站上搜索相關(guān)內(nèi)容，或者直接百度）

假如我們有這樣一個(gè)直角三角形，如右圖，其有一個(gè)角記為∠x，顯然有：

而圓的方程是??，對(duì)于斜邊長為1的直角三角形，我們可以畫出下面的動(dòng)圖：

其中，D點(diǎn)的坐標(biāo)可以被表示為. DE即為上圖的b邊，AE即為上圖的a邊，我們記x軸正方向上的AE為“始邊”，AD為“終邊”。動(dòng)圖中以圓心為頂點(diǎn)的，以AD與x軸正半軸為邊的角即為 x 角，注意不是標(biāo)注的角。圖中體現(xiàn)的是 x 從 0 到 2π （0° ~ 360°）變化的過程。注意，角可以大于2π，也可以小于0；三角函數(shù)值也可以為負(fù)數(shù)。

（以下內(nèi)容部分摘自百度）

在二維的坐標(biāo)系中，角一般是以x軸的正向?yàn)槭歼叄艚K邊向y軸的正向旋轉(zhuǎn)，則其角為正角，若往y軸的負(fù)向旋轉(zhuǎn)，則其角為負(fù)角。若二維的坐標(biāo)系也是x軸朝右，y軸朝上，則逆時(shí)針的旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)正角，順時(shí)針的旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)負(fù)角，如圖得到的x就是正角。

比如圖中的x角，按照正常的情況應(yīng)該標(biāo)注為∠Dax（這個(gè)x是x軸正方向），而且由圖可以得到∠DAx從 0 逐漸增大到2π。一般而言，只討論幾何位置而不討論角度大小的情況下， 與（k是整數(shù)）是同一個(gè)角，它們的終邊落在同一個(gè)位置。

如果我們讓D繞著這個(gè)圓一直轉(zhuǎn)，我們可以畫出DE的長度隨x角變化而變化的函數(shù)圖像，即為? 的圖像：

同理，我們也可以畫出AE的長度隨x角變化而變化的函數(shù)圖像，即為? 的圖像：

（其實(shí)你可以發(fā)現(xiàn)，正弦圖像向左平移個(gè)單位長度就是余弦圖像，它們的周期均為.）

三角函數(shù)圖像的標(biāo)準(zhǔn)形式是?，接下來我會(huì)一一解釋其中參數(shù)的含義。

我們從最簡單的A開始。

顯然，A的作用是把這個(gè)函數(shù)圖像上的每一個(gè)點(diǎn)的y值全部乘上A，感性理解就是把整個(gè)圖像在縱軸方向拉伸或壓縮，改變的是三角函數(shù)圖像的振幅，如圖。

接下來是b。

初中老師告訴過我們，把一個(gè)東西加上一個(gè)常數(shù)等效于把它的圖像上下平移，就像這樣。

然后是兩個(gè)復(fù)雜一點(diǎn)的東西，ω (omega) 和 φ (phi) 。

初中老師還告訴過我們“左加右減”，這就是 φ 干的事情。

還差一個(gè) ω 。想象一下，對(duì)于一個(gè)一次函數(shù)，當(dāng)它的斜率變大時(shí)，整個(gè)函數(shù)圖像的x軸會(huì)向y軸被“壓縮”，壓縮的倍率是，而這里的 ω 是一樣的，它會(huì)使得函數(shù)的周期變?yōu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Comega%7D%20" alt="%5Cfrac%7B2%5Cpi%7D%7B%5Comega%7D%20">，如圖；這里 ω 的正負(fù)會(huì)對(duì)函數(shù)圖像造成整體沿y軸對(duì)稱的影響。

注意，ω 和 φ 是相互獨(dú)立的，也就是說，如果你想把一個(gè)圖像從先向左平移 π 個(gè)單位（φ = π），再擴(kuò)張 0.5 倍（即壓縮 ω = 2倍），那么你應(yīng)該這么做：

而不是：

這會(huì)對(duì)后面的截取圓弧的理解造成影響，所以務(wù)必要清楚這一點(diǎn)。

好啦，現(xiàn)在你已經(jīng)知道了 ?中各參數(shù)的意義，將它們組合起來即可完成對(duì)三角函數(shù)圖像的任何平面變換。這為你以后填寫曲線軌跡的方程打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)！

以上的所有內(nèi)容務(wù)必好好消化哦_(゜▽゜」∠)_！

本教程中的動(dòng)圖與圖片均為我使用 Desmos 和 GeoGebra 制作。

PS:本文為我原創(chuàng) 但是投稿的時(shí)候忘記加了（）