摘要

本文以手機游戲《蔚藍檔案》、《BanG Dream！》等中的硬保底機制為例，簡單介紹了基于EXCEL的硬保底機制下抽卡結(jié)果的概率分布和期望的計算方法，并給出了200抽后硬保底、UP率0.7%條件下單UP池、井票互通雙卡池、雙UP池中抽卡結(jié)果的概率分布和期望：抽出1張UP卡的期望抽數(shù)約為111.24，在合計抽數(shù)硬保底的兩個卡池中抽出2張UP卡的期望抽數(shù)約為197.13，在雙UP池中抽出2張UP卡的期望抽數(shù)約為157.60。本文中的數(shù)據(jù)和計算方法可以為硬保底機制游戲的玩家提供規(guī)劃抽卡的重要依據(jù)。

第一章 引言

游戲中的抽卡，在筆者所知范圍內(nèi)，大致分為硬保底、軟保底、BOX、無保底4種機制。其中，硬保底和無保底類似獨立重復(fù)實驗，但硬保底機制下，實驗次數(shù)達到一定值后，在最后一次實驗中或結(jié)束后獲得1次預(yù)期的結(jié)果；軟保底機制下，每次實驗中預(yù)期結(jié)果出現(xiàn)的概率會隨著實驗次數(shù)增加以某種形式上升；BOX機制按照定義可以歸為軟保底的一種，但該模型最為現(xiàn)實且歷史最悠久，如字面意思，從有限的盒子中隨機取出一個結(jié)果而不放回，取完為止。

筆者自8月3日開始游玩《蔚藍檔案》，感到抽卡規(guī)劃壓力巨大，因此嘗試對其中硬保底機制下的期望抽數(shù)進行計算，完成后群友建議我發(fā)布此內(nèi)容；筆者進行了簡單的搜索，發(fā)現(xiàn)雖然計算方法簡單，但網(wǎng)絡(luò)上關(guān)于硬保底概率分布與期望的計算和現(xiàn)成數(shù)據(jù)較少，因此筆者亦認為此內(nèi)容有一定分享價值，遂撰寫本文。

第二章 單UP池的概率分布與期望

單UP單卡池，指在1個200抽硬保底的卡池中，以抽出UP率0.7%的1張卡為目標進行抽取，為硬保底機制下最簡單的模型。觸發(fā)硬保底、使用井票兌換目標卡前的最多200抽為普通的獨立重復(fù)實驗：0.007與0.993的二項分布，顯然n抽不出的概率為P=0.993^n。

為減少數(shù)據(jù)量及更符合大多數(shù)玩家的抽卡模式，本文將單次抽數(shù)改為10抽進行計算，（未）出率表示共n抽后未/已出目標卡的概率，恰出率表示共n抽后恰好僅在最近1次10連抽中抽出目標卡、可以停止抽卡的概率，連續(xù)相同的200/400抽表示使用井票兌換目標卡前后的情況，所有抽數(shù)與其恰出率之積的總和即為抽數(shù)的期望。

每10抽不出的概率為0.993^10≈0.9322，相對地能在這10抽中抽出的概率則約為0.0678，單UP池中抽卡結(jié)果的概率分布與期望如表2-1、圖2-1、圖2-2所示。

第三章?井票互通雙卡池的概率分布與期望

《蔚藍檔案》大多數(shù)卡池中2張目標卡分別在同時開放的2個卡池中UP，不過2張卡都獲得的期望抽數(shù)卻并非2次單UP單卡池抽卡實驗的2倍，因為在其中1個卡池中在200抽內(nèi)抽出目標卡后，抽數(shù)可以在第2個卡池中被使用而更早地觸發(fā)保底機制。

該模型下，200抽及以前抽第1張卡的情況的概率分布與上一章中相同，為每10抽約0.9322、0.0678的概率抽出和抽不出，而順利抽出第1張卡后的情況會在第2個池子中繼續(xù)陷入二項分流：沒有抽出、繼續(xù)抽取，和成功抽出、結(jié)束抽?。?00抽后的情況，觸發(fā)保底機制：僅抽出1張卡的所有情況此時轉(zhuǎn)變?yōu)?張卡都抽出的情況、結(jié)束抽取，都沒出的情況此時轉(zhuǎn)變?yōu)閮H抽出1張卡的情況并進入第2個池子、在觸發(fā)400抽后的保底機制前繼續(xù)著二項分流。

井票互通雙卡池中抽卡結(jié)果的概率分布與期望如表3-1、圖3-1、圖3-2所示。

第四章 雙UP池的概率分布與期望

《BanG Dream！》中自開服早期后所有卡池都是雙UP單卡池，而該種卡池在《蔚藍檔案》中極其少見，顯然該模型下2張卡都獲得的期望抽數(shù)更少，但該模型更復(fù)雜。該模型下與前文的兩種不同之處在于從0.007與0.993的二項分布及其復(fù)合形式變?yōu)?.007、0.007與0.986三項分布，計算量飆升，計算較小單位抽數(shù)情況下的概率分布來減少后續(xù)的計算量也變得困難，如：抽4次，2張卡都沒出的概率為0.986^4，而2張卡恰好只出了其中1張的概率則為[C(1,4)*0.007*0.986^3+C(2,4)*0.007^2*0.986^2+C(3,4)*0.007^3*0.986+C(4,4)*0.007^4]*2（若2張卡分別為A、B，則只出了A、只出了B的概率分別為該概率的一半），最后2張卡都抽出來了的概率由于是三項分布式而極其復(fù)雜，可用1減去前面兩種情況的概率得到；于是用同樣的方法可以算出抽10次3種情況發(fā)生的概率分別約為0.8685、0.1273和0.0042。

因此，每經(jīng)過10抽，3種情況間會發(fā)生比上一章更大幅度的轉(zhuǎn)化：都沒出的情況每次都會有約0.1273的概率變?yōu)閮H出了其中1張的情況，有約0.0042的概率直接變?yōu)?張都抽出了的情況，有約0.8685的概率不變化；而僅出了其中1張的情況則進行著約0.1273/2+0.0042的概率變?yōu)?張都抽出了的情況、約0.1273/2+0.8685的概率不變化的二項分流。直到達到200抽后，觸發(fā)保底機制：僅僅出了其中1張的所有情況此時轉(zhuǎn)變?yōu)?張卡都抽出的情況、結(jié)束抽取，都沒出的情況此時轉(zhuǎn)變?yōu)閮H抽出1張卡的情況并繼續(xù)抽取、在觸發(fā)400抽后的保底機制前進行二項分流。

雙UP池中抽卡結(jié)果的概率分布與期望如表4-1、圖4-1、圖4-2所示。

第五章 小結(jié)與展望

沒什么想總結(jié)的，對文中內(nèi)容如有疑惑可提出或斧正。

最后提一下，抽數(shù)的期望總歸是平均值，少量卡池中的抽數(shù)未必與期望值足夠接近，僅在做包含至少兩位數(shù)個卡池的抽卡計劃時才能發(fā)揮足夠的參考價值。

參考文獻

[1]某人, 某人, 某人, 等. 某本高中數(shù)學(xué)課本[M]. 某地: 某出版社, 某年: 某頁-某頁.