? 開區(qū)間,閉區(qū)間，從初等數(shù)學的角度看過去好像沒什么本質(zhì)區(qū)別，無非就是除掉了邊界點和包含邊界點的區(qū)別。但是它們包含了非常不一樣的極限性質(zhì)，它們是一對互為對偶的概念。開區(qū)間中的任何點都處于區(qū)間的內(nèi)部，,這對于閉區(qū)間的邊界點是做不到的。閉區(qū)間中的任何數(shù)列都會收斂到區(qū)間內(nèi)，這是開區(qū)間做不到的。也就是說如果某個集合是開集，那么你可以對任何其中的點進行一個局部性質(zhì)的分析，因為它總有個開鄰域完全在開集中。而如果一個集合是閉集你就可以確定極限是存在的。

? 再復述一遍：開集就是每一個點都是內(nèi)點的集合，閉集是極限點都屬于集合的集合。直觀上看似不相干的定義，其實恰好給出開集就是閉集的余集。也就是說前面兩句看起來沒有聯(lián)系的話互為否命題了。因為集合的每一個點都是內(nèi)點，所以任何點都不能成為的極限點，為閉集，反之如果的極限點都在中，則中的點不能是的極限點，所以的點必然存在一個開鄰域不包含任何的點，從而的點都是內(nèi)點，為開集。