最近，全國很多地區(qū)都遭遇了百年一遇的洪澇災(zāi)害，鄱陽湖的水位甚至超過了1998年。洪水給許多地區(qū)的居民帶來了嚴(yán)重的安全威脅和財(cái)產(chǎn)損失。有人又說：“最近十年，百年一遇的洪水我已經(jīng)遇到三次了?！泵髅魇且话倌瓴艜?huì)發(fā)生一次的事，為什么十年之內(nèi)就遇到了三次呢？百年一遇這個(gè)詞到底是什么意思呢？

之前我們討論過墨菲定律，講過小概率事件為何也會(huì)變成必然事件。今天我們從洪水的角度再來具體聊聊這個(gè)話題。? ??

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1??洪水的重現(xiàn)期

所謂“百年一遇”，在水文學(xué)領(lǐng)域有一個(gè)更專業(yè)的名字——重現(xiàn)期。它的意思是某個(gè)強(qiáng)度的降水或洪峰重復(fù)出現(xiàn)一次的平均時(shí)間間隔，是根據(jù)大量的實(shí)測資料通過計(jì)算得到的。

舉個(gè)簡單的例子：中國很多地區(qū)歷史悠久，會(huì)保留很長時(shí)間的水文資料。假設(shè)有一個(gè)地區(qū)，保存了一條河一千年的水文數(shù)據(jù)。平時(shí)這條河的流量都在50立方米/秒上下，偶爾降水變多，這條河發(fā)生洪水，最大流量會(huì)達(dá)到100立方米/秒。通過統(tǒng)計(jì)我們發(fā)現(xiàn)：這樣的事件在1000年的歷史中一共發(fā)生了100次，平均10年出現(xiàn)一次，我們就叫它“十年一遇”。反過來說，每一年遇到這種流量的洪水概率就是1/10。

同樣的，如果我們經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：這條河流量達(dá)到200立方米/秒的嚴(yán)重洪水，在1000年的歷史上一共發(fā)生了10次，平均100年發(fā)生一次，我們就叫它百年一遇，每一年遇到這種洪水的概率就是1/100；如果這條河流量達(dá)到了300立方米/秒的超級(jí)洪水，在1000年的歷史上只發(fā)生過1次，那么我們就叫它千年一遇，每年出現(xiàn)這樣洪水的概率就是1/1000。

從這個(gè)簡單的例子我們可以了解洪水重現(xiàn)期的含義：假設(shè)在N年的歷史記載中，某個(gè)量級(jí)的洪水出現(xiàn)了k次，重現(xiàn)期T的計(jì)算公式為：

反之，每一年出現(xiàn)這種量級(jí)洪水的概率就是

洪水重現(xiàn)期和每年出現(xiàn)的概率是互為倒數(shù)的，更準(zhǔn)確的統(tǒng)計(jì)模型比這個(gè)例子復(fù)雜的多，但是基本原理是一樣的。

但是，我們一定要知道: 百年一遇的洪水——平均100年出現(xiàn)一次，這只是一個(gè)統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論，實(shí)際上100年中百年一遇的洪水也可能完全不出現(xiàn)，或者出現(xiàn)2次、3次、4次等等，洪水的重現(xiàn)期并不像哈雷彗星的周期那樣嚴(yán)格。? ? ? ??

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2??防洪設(shè)施的標(biāo)準(zhǔn)

在修建防洪設(shè)施時(shí)，需要參照相應(yīng)的國家標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)重要區(qū)域、大城市，需要能夠抵御更高級(jí)別的洪水。那么，如果按照百年一遇的標(biāo)準(zhǔn)修建防洪設(shè)施，是否就一定能保百年平安呢？

我們來做一個(gè)算術(shù)題：百年一遇的洪水每年發(fā)生的概率為1%，那么在N年中至少發(fā)生一次的概率有多大？

我們看：在任意一年，遇到百年一遇的洪水概率是1%,不遇到的概率就是99%。如果連續(xù)N年都不發(fā)生這種級(jí)別的洪水，利用乘法原理得出概率是0.99N；相應(yīng)的，N年中至少發(fā)生一次百年一遇洪水的概率就是

我們把這個(gè)概率圖像畫出來如下

圖像橫坐標(biāo)N代表年數(shù)，縱坐標(biāo)P表示至少發(fā)生一次百年一遇洪水的概率。我們會(huì)發(fā)現(xiàn)：十年內(nèi)發(fā)生百年一遇洪水的概率約9.6%，三十年內(nèi)發(fā)生百年一遇洪水的概率約26%，五十年內(nèi)發(fā)生百年一遇洪水的概率約39%，一百年內(nèi)發(fā)生百年一遇洪水的概率約63%。

100年內(nèi)，也有37%的概率不會(huì)發(fā)生百年一遇洪水，同樣的，10年內(nèi)，也有9.6%的概率發(fā)生百年一遇洪水。如果堤壩按照百年一遇標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)，在10年內(nèi)有9.6%的可能發(fā)生危險(xiǎn)，30年內(nèi)有26%的可能發(fā)生危險(xiǎn)，而50年內(nèi)發(fā)生危險(xiǎn)的可能就是39%。

而且，由于氣候和環(huán)境變化、人類活動(dòng)等原因，降雨量也會(huì)發(fā)生變化，滄海桑田，百年一遇的洪水標(biāo)準(zhǔn)也會(huì)隨之變化。近年來全球氣溫上升、海平面升高等事件，也可能會(huì)造成以前是百年一遇的洪水，在近年來變得越來越頻繁。在這個(gè)層面上，人類也需要對(duì)自己的行為有所反思。

總而言之，以百年一遇的洪水?dāng)?shù)據(jù)為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)的堤壩，不一定能保證一百年都是安全的。既然如此，國家的防洪設(shè)施標(biāo)準(zhǔn)是不是越高越好呢？我們提高到可以抵御千年一遇、甚至萬年一遇的洪水標(biāo)準(zhǔn)，那不就高枕無憂了嗎？

防洪級(jí)別越高的設(shè)施，意味著建設(shè)成本的增加，這種成本最終都會(huì)落到納稅人身上。防洪級(jí)別低，建設(shè)成本會(huì)降低，可一旦發(fā)生洪水災(zāi)害造成的損失會(huì)很大。所以在實(shí)際的應(yīng)用當(dāng)中，需要根據(jù)水域條件，平衡防洪設(shè)施的建設(shè)成本和洪水造成的損失，尋找最經(jīng)濟(jì)的方式。

3? 二項(xiàng)式分布

現(xiàn)在，我們要回答最初那位小朋友提出的問題了：百年一遇的大洪水，在十年內(nèi)出現(xiàn)三次的概率有多大？

投一個(gè)籃球，投中的概率是30%，不中的概率是70%，如果投籃10次，命中3次的概率是多少？買一張彩票，中獎(jiǎng)的概率是40%，不中獎(jiǎng)的概率是60%，買100張彩票有50張中獎(jiǎng)的概率有多大？像這樣的概率問題，我們稱之為二項(xiàng)式分布。

做一個(gè)試驗(yàn)，試驗(yàn)成功的概率是p，試驗(yàn)失敗的概率是1-p。若試驗(yàn)重復(fù)N次，其中k次成功的概率稱之為二項(xiàng)式分布，記作f(k,N,p)。

比如洪水，百年一遇的洪水出現(xiàn)的概率是1%，不出現(xiàn)的概率是99%，10年的時(shí)間里出現(xiàn)3次的概率符合二項(xiàng)式分布，寫作f(3,10,0.01)。在高中數(shù)學(xué)書里就有二項(xiàng)式分布的計(jì)算方法：

這個(gè)公式很好理解：

• p是試驗(yàn)成功的概率，p?就是有k次成功的概率；

• 1-p是失敗概率，(1-p)???表示剩下N-k次試驗(yàn)失敗的概率；

• k次成功的試驗(yàn)分布在N次試驗(yàn)中，C??代表在N次事件中，取出k次的方法數(shù)。比如10年中發(fā)生3次百年一遇的洪水，有很多種可能，可以是第一年、第二年、第三年，也可以是第一年、第四年、第五年，這樣所有可能的組合要全部數(shù)出來，會(huì)有C3??種。

C??的計(jì)算公式比較復(fù)雜：

有趣的是：我們也可以使用楊輝三角找到組合數(shù)。楊輝三角頂端是1，第一行是1、1，第二行是1、2、1，第三行是1、3、3、1，把這些數(shù)字排列成三角，就會(huì)發(fā)現(xiàn)最左邊和最右邊這兩列都是1，而中間的任意一個(gè)數(shù)字都等于它肩膀上的兩個(gè)數(shù)字之和。關(guān)于楊輝三角的更多精彩內(nèi)容請參閱我以前的一篇文章：梅花機(jī)的中獎(jiǎng)概率怎么算？

神奇的是，楊輝三角跟組合數(shù)有著非常巧合的對(duì)應(yīng)關(guān)系。頂端的1對(duì)應(yīng)的是C00，第一行的1、1，對(duì)應(yīng)的就是C10和C11；第二行的1、2、1對(duì)應(yīng)的就是C20、C21、C22的計(jì)算結(jié)果；第三行的1、3、3、1對(duì)應(yīng)的是C30、C31、C32、C33……遵循這個(gè)規(guī)律，你可以從楊輝三角的對(duì)應(yīng)位置上當(dāng)中找到的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)然你如果不想這么費(fèi)勁，也可以直接借助互聯(lián)網(wǎng)來搜索你要的答案。

掌握了二項(xiàng)式分布，我們就可以算百年一遇的洪水，10年內(nèi)發(fā)生3次的概率了。

大家看，10年內(nèi)遇到3次百年一遇洪水的概率大約是萬分之一，幾乎是不可能的。? ? ? ? ? ? ? ? ?

4? 百年一遇，為何年年遇？

那么，為什么我們經(jīng)常感覺遭遇了大洪水呢？

很有可能的一個(gè)原因是：互聯(lián)網(wǎng)拉近了人與世界的距離。全國任何一個(gè)地方發(fā)生百年一遇的洪水都被人們收納到記憶中，所以才覺得小概率事件愈加頻繁。

剛才我們計(jì)算到：對(duì)于一個(gè)特定的流域來講，10年內(nèi)發(fā)生三次百年一遇的洪水概率只有0.01%。然而，全國有許多流域系統(tǒng)，如果每個(gè)流域系統(tǒng)都是相對(duì)獨(dú)立的，東邊不亮西邊亮，發(fā)生百年一遇洪水的概率就大得多了。

我們暫且假設(shè)每個(gè)省級(jí)行政單位只有一個(gè)流域系統(tǒng)（當(dāng)然這個(gè)假設(shè)與實(shí)際不符，只是為了計(jì)算方便），這樣全國共有34個(gè)流域。在10年的時(shí)間里，有340次發(fā)生洪水的機(jī)會(huì)，每個(gè)流域每年發(fā)生百年一遇洪水的概率依然是1%。按照二項(xiàng)式分布，我們就能計(jì)算出發(fā)生0次、1次、2次、3次…百年一遇洪水的概率，為：

大家看，在340次發(fā)生洪水的機(jī)會(huì)中，3次發(fā)生百年一遇洪水的概率大約22%，發(fā)生不少于3次百年一遇洪水的概率大約66%，這就是我們?yōu)槭裁唇?jīng)?？吹桨倌暌挥龊樗脑颉?/strong>

我們在計(jì)算過程中假設(shè)了每個(gè)省只有一個(gè)流域系統(tǒng)，實(shí)際上，全國的流域遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止34個(gè)，所以十年之內(nèi)，在全國范圍看到3次或者更多百年一遇的洪水，概率應(yīng)該比66%更大。更進(jìn)一步來說，百年一遇的災(zāi)害不只有洪水，還有地震、臺(tái)風(fēng)、蝗災(zāi)、傳染病……如果從這個(gè)角度來計(jì)算概率，你會(huì)發(fā)現(xiàn)基本上每一年都會(huì)有一些地方遭遇百年一遇的災(zāi)害。

除了自然災(zāi)害，還有很多百年一遇的天文事件，也經(jīng)常出現(xiàn)在日常生活中。比如超級(jí)月亮、日全食、火星大沖、金星凌日、哈雷彗星等、太陽活動(dòng)等等，一個(gè)20多歲的人可能已經(jīng)遇到了無數(shù)個(gè)百年一遇的自然現(xiàn)象，這其實(shí)都是非常正常的。

在我之前做這個(gè)視頻的時(shí)候，有人說我在洗地。在抗洪的設(shè)施上，的確曾有一些有問題的工程，但是科學(xué)是客觀存在的，并不因個(gè)人喜好而不同。百年一遇就是一個(gè)水文學(xué)和概率問題，而不是陰謀論。每當(dāng)災(zāi)害發(fā)生時(shí)，沖在第一線的永遠(yuǎn)是解放軍戰(zhàn)士和武警官兵，他們才是最可愛的人。

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