2.2.3 ?抽滿命五星 UP 角色

對于 ，在 2.2.2 部分的基礎(chǔ)上再引入一個參變量 表示已經(jīng)獲取的 UP 角色數(shù)，即設(shè) 表示在前??抽沒有抽滿目標 UP 角色，保底情況為 （?為小保底， 為大保底），保底累計抽數(shù)為 ，且已經(jīng)獲得了 個 UP 角色的概率。據(jù)此可以列出方程組（，其余變量范圍略）：

并且有

關(guān)于 的方程組中的第四個方程的含義為：如果抽中了 UP 五星角色，則清空保底的累計抽數(shù)，重新進入小保底階段，且抽出的 UP 角色數(shù)增加 。 仍然可以迭代計算，只需要分別從小到大枚舉 。

仍然沿用上面部分的代碼，做一些基礎(chǔ)修改后，核心計算部分如下：

輸出的期望抽數(shù) 。事實上，它恰好為??的 倍。 本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下：

圖象的峰值位于點 處，這表明從零開始抽卡，最有可能在第 抽時出滿命的目標 UP 角色，概率約為 。前綴和圖象的 對應(yīng)的抽數(shù)在 與 之間，距 更近，這表明中位抽數(shù)約為 。

2.3 ?進一步結(jié)果

抽取武器與抽取角色總體類似，獲取到的函數(shù) ?如下：

此外，在抽取 UP 武器時還需考慮定軌機制，但這僅是在 中添加一個參變量的事。例如，在計算抽滿精目標五星 UP 武器的相應(yīng)概率時，我們將會設(shè) 表示在前 抽沒有抽滿目標 UP 武器，保底情況為 （ 為小保底， 為大保底），保底累計抽數(shù)為 ，定軌數(shù)值為 ，且已經(jīng)獲得了 把目標 UP 武器的概率。各個抽取目的下的具體分析略，這里僅給出最終結(jié)果。

2.3.1 ?抽五星（忽略 UP 與否）武器

抽取一把五星武器（忽略 UP 與否）的期望抽數(shù) 。 本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下：

圖象的峰值位于點 處。前綴和圖象的 對應(yīng)的抽數(shù)在 與 之間，距 更近。

2.3.2??抽五星?UP 武器

抽取一把目標五星 UP 武器的期望抽數(shù)?。?本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下：

?圖象的峰值位于點??處。前綴和圖象的??對應(yīng)的抽數(shù)在??與??之間，距??更近。

2.3.3? 抽滿精五星?UP?武器

抽取滿精目標五星 UP 武器的期望抽數(shù)?。?本身及其前綴和關(guān)于抽數(shù)的圖象如下：

?圖象的峰值位于點??處。前綴和圖象的??對應(yīng)的抽數(shù)在??與??之間，距??更近。

3 ?模型分析

我們的分析均基于上面計算得到的數(shù)據(jù)與圖象。

3.1 ?模型優(yōu)點

當(dāng)我們觀察 2.2.3 與 2.3.3 部分求得的兩幅 圖象時，也許會驚異于其近似為正態(tài)分布，或者它們的前綴和圖象足夠光滑美觀。正態(tài)分布通常是我們最能接受的概率分布，尤其是在抽取滿命角色或滿精武器這樣投入周期較長或資源較大的抽卡模型中——當(dāng)我們付出較多時，我們希望回報等級至少在分布上足夠均衡，這樣我們既能對獲取高等級回報抱以足夠的期待，同時又不必太擔(dān)心自己的收獲很差。在面對部分抽卡評價系統(tǒng)給出的“非酋”等級的評估時，許多玩家甚至僅僅希望變得更“平庸”一些，即接近中間水平。正態(tài)分布模型給予了他們歸宿。

站在游戲策劃的角度，單抽出金（這里指角色池）的抽數(shù)集中在 抽左右這一設(shè)計也較為巧妙。一方面，它離 抽有足夠的距離，這保證了絕大多數(shù)人在為角色買單時都需要付出足夠的代價，更直白地說，它保證了游戲的收入；另一方面，它在從零開始的第八個“十連”末尾，卻又沒有進入到真正吃滿保底需要的第九個“十連”中，這會使大部分玩家慶幸于自己沒有“臉黑”，從而產(chǎn)生“提前出貨”的主觀滿足。

3.2 ?模型缺陷

盡管在上一部分模型優(yōu)點中，我們對抽取滿命角色或滿精武器的概率分布給予了一定的肯定，但不要忘記了，原神作為一款免費游戲，其中的大部分玩家并沒有抽取滿命角色與滿精武器的精力與資本。我們還應(yīng)將視線放回到抽取單個五星角色/武器的概率分布上。可惜的是，我們看到的結(jié)果并不盡如人意。

以抽取單個五星角色（忽略 UP 與否）為例。盡管出貨的中位抽數(shù)和最大概率抽數(shù)在 附近，相應(yīng)圖象表明分布也確實較為集中，但期望抽數(shù)卻僅有 。這說明在 抽（依據(jù)函數(shù) ，出貨概率開始提升的時候）之前出貨的概率雖然較小，卻不可忽略。事實上，前綴和給出在前? 抽出貨的概率已經(jīng)超過了?！這會導(dǎo)致的最直接后果便是大量的幸存者偏差現(xiàn)象——不小的提前出貨的概率使一部分人嘗到了甜頭，這種喜悅蔓延到更大部分保守出貨的人面前時，他們就會在默默承受痛苦之余感慨一句“吃檸檬，陌生人！”，并對整個抽卡系統(tǒng)充滿抱怨。

武器池設(shè)計的不平衡更為明顯。從抽取五星角色到抽取五星 UP 角色，最大概率抽數(shù) 保持不變，中位抽數(shù)僅僅從 提升到了 ，并且它們都在? 的附近。但同樣是保持一致的最大概率抽數(shù)，從抽取五星武器到抽取目標五星 UP 武器，中位抽數(shù)從? 直接提升為了?，后者已經(jīng)遠遠大于了最大概率抽數(shù)?。中位數(shù)與眾數(shù)的較大差距表明了模型設(shè)計必然存在著不合理之處，同時，這一比較也表明引入定軌機制僅僅防止了如某經(jīng)典“天空之卷”事件的小概率情形的發(fā)生，武器池更深層次的隱患仍沒有被清除。

4 ?其他說明

本文用于數(shù)據(jù)計算與圖象生成的所有代碼均可在 https://cloud.tsinghua.edu.cn/d/23b481792ae64b618fc5/?查看。

本文中用到的計算概率函數(shù) 的思想實際名為“動態(tài)規(guī)劃”，但由于本文力求科普，所涉及的轉(zhuǎn)移也并不復(fù)雜，因此在前面隱匿了這一名稱，并且將狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程族簡單地稱為“方程組”。實際上，每個等式的含義已經(jīng)由等式本身直接體現(xiàn)，但在必要處我們?nèi)赃M行了解釋說明。