本文譯自A. V. Akopyan, A. A. Zaslavsky, trans. Alex Martsinkovsky, Geometry of Conics, American Mathematical Society, 2007.
翻譯：野呂侯奈因
僅供學(xué)習(xí)交流使用
譯者按：
?????? 本書在幾何愛好者之間小有人氣，但目前網(wǎng)上只能找到一些零散的翻譯．鑒于目前通行的數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)于二次曲線問(wèn)題的處理方式過(guò)于單一，希望能借翻譯本書的機(jī)會(huì)來(lái)推廣一下二次曲線的射影幾何視角．

1.4. 圓錐曲線中的等角(isogonal)關(guān)系

?????? 光學(xué)性質(zhì)為許多神奇的結(jié)論提供了簡(jiǎn)單的證明方式．
定理1.3. 過(guò)橢圓外一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為與．則有（和為橢圓的兩焦點(diǎn)）．

（譯者注：該定理也被稱作彭賽列小定理(Poncelet's little theorem)．）
證明. 分別作出、關(guān)于和的對(duì)稱點(diǎn)、（圖1.15）．

?????? 則有及．且、和三點(diǎn)共線（由光學(xué)性質(zhì)）．對(duì)于、和也同理．故有．因此（由SSS判定）．于是就有故可得．

（作者注：在此只針對(duì)和在內(nèi)部且在內(nèi)部的情況．不過(guò)其余情況證法也類似．）

（譯者注：在此給出兩種不同情況的直觀形式，證明基本與上文一致，就不贅述了．（圖e）（圖f））

? ? ? ? ???圖1.6展示了在雙曲線中的類似性質(zhì)。

（作者注：讀者應(yīng)自行思考切點(diǎn)位于同支和異支的兩種情況．）

（譯者注：切點(diǎn)位于異支的情況如下．在此也是只給出其直觀形式，證明可仿定理1.3（圖g）．）

? ? ????作出與相切的以、為兩焦點(diǎn)的橢圓或雙曲線．則有以下結(jié)論：、、．

（譯者注：由定理1.3，上述結(jié)論是顯然的，在此給出幾個(gè)直觀形式（圖h；圖i）．不過(guò)對(duì)于雙曲線，有時(shí)其中一角的相等關(guān)系也會(huì)變?yōu)榛パa(bǔ)關(guān)系，這是切點(diǎn)與切線交點(diǎn)的相對(duì)位置不同導(dǎo)致的．（圖j））

???????我們將會(huì)在2.3中詳細(xì)介紹以下內(nèi)容：在平面中，對(duì)于幾乎任意的（存在少數(shù)例外）點(diǎn)都有唯一的一點(diǎn)使得以、為焦點(diǎn)的圓錐曲線與一三角形的每條邊都相切．其中的就叫做關(guān)于某個(gè)三角形的等角共軛點(diǎn)(isogonal conjugate)．

???????另外，證明定理1.3用到的輔助線也帶來(lái)了另一個(gè)有趣的結(jié)論．由，有．故可得．

（譯者注：見圖1.15）

???????于是我們也就能證明以下定理1.3的延伸結(jié)論．

定理1.4. 沿用定理1.3的記號(hào)，有直線平分（圖1.17）

定理1.5. 過(guò)一點(diǎn)引一給定橢圓的兩條切線，若兩條切線垂直，則該點(diǎn)軌跡為一個(gè)以橢圓中心為圓心的圓．（圖1.18）

（譯者注：該圓也被稱為蒙日?qǐng)A(monge's?circle)或準(zhǔn)圓(director circle)）

證明. 設(shè)橢圓焦點(diǎn)為、，兩切線切橢圓于點(diǎn)、并交于點(diǎn)．作出關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．由定理1.3有且，即長(zhǎng)度等于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)（拴住山羊的繩長(zhǎng)）．而當(dāng)且僅當(dāng)（由勾股定理）時(shí)才為直角．因此當(dāng)且僅當(dāng)的值等于長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方時(shí)才為直角．不難發(fā)現(xiàn)該條件將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡限制在一個(gè)圓內(nèi)．實(shí)際上，若是在平面直角坐標(biāo)系中設(shè)坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，則有點(diǎn)滿足，其中為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的平方．而不難發(fā)現(xiàn)其中和項(xiàng)的系數(shù)相等（都為2）且項(xiàng)的系數(shù)為零，故滿足該條件的點(diǎn)的集合為圓．由對(duì)稱性，不難發(fā)現(xiàn)其圓心為線段的中點(diǎn)．

???????對(duì)于雙曲線，這個(gè)圓就不總存在了．當(dāng)雙曲線的兩漸近線夾銳角時(shí)，此圓的半徑就會(huì)呈虛數(shù)．而兩漸近線恰垂直時(shí)，此圓又會(huì)退化為雙曲線的中心這一個(gè)點(diǎn)．

例. 給定一系列點(diǎn)及系數(shù)與，則有滿足的點(diǎn)的軌跡為一個(gè)圓，該圓被稱作費(fèi)馬-阿波羅尼斯圓(Fermat-Apollonius circle)．顯然，有時(shí)此圓半徑會(huì)呈虛數(shù)（試問(wèn)何時(shí)取得？）．

（譯者注：首先，經(jīng)整理，原方程中和項(xiàng)的系數(shù)都為且項(xiàng)的系數(shù)為零，故滿足該條件的點(diǎn)的集合為圓．其次，若設(shè)在平面直角坐標(biāo)系中對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，則有當(dāng)時(shí)半徑呈虛數(shù)．）