A-0-6矢量運(yùn)算(1/2)

2023-08-27 15:48 作者:夏莉家的魯魯 0人讀過(guò) | 我要投稿

0.6.1 矢量的表示

物理中的矢量對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)中的向量，唯一的區(qū)別就是作為物理量的矢量帶有單位，其他定義包括運(yùn)算法則基本相同，以下不做特別的區(qū)分。

幾何表示

拿位移舉例，如下圖，我們可以用一條從 $A$ 指向 $B$ 的有向線段表示矢量，也可以用 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 、 $%5Cvec%7Bx%7D$ 表示，另外，在印刷體中，可以用粗體 $%5Cboldsymbol%20x$ 表示矢量。

代數(shù)表示

引入坐標(biāo)系之后，我們可以用坐標(biāo)表示矢量，比如上圖中，可以用 $(2m%2C1m)$ 表示 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D$ 矢量。

矢量大小與單位矢量

數(shù)學(xué)上把向量的大小稱為向量的模，用 $%7C%5Coverrightarrow%7BAB%7D%7C$ 表示，矢量與之相比需要加上單位。模長(zhǎng)為1的向量稱為單位向量，物理上表示單位矢量的符號(hào)很多，比如沿 $x$ 方向位移的單位矢量，可以表示為 $%5Cvec%20e_x$ ， $%5Chat%7Be_x%7D$ ， $%5Chat%20i$ ， $%5Cvec%20i$ ， $%5Chat%20x$ ， $%5Cdfrac%7B%5Cvec%20x%7D%7B%7C%5Cvec%20x%7C%7D$ 等等。

矢量的夾角

當(dāng)兩個(gè)矢量 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 起點(diǎn)重合時(shí)，它們之間的夾角稱為為兩矢量的夾角 $(%5Cle180%C2%B0)$ ，可以用符號(hào) $%5Clangle%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle$ 表示。

0.6.2 矢量的加減

幾何描述

矢量的加減法則同樣可以由位移引入：

如圖，物體先從 $A$ 走向 $B$ ，再?gòu)?img type="latex" class="latex" src="http://api.bilibili.com/x/web-frontend/mathjax/tex?formula=B" alt="B">走向 $C$ ，兩段位移的和為從 $A$ 直接指向 $C$ .

即

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此即矢量加法的三角形法則，運(yùn)用三角形法則時(shí)，我們需要將第2個(gè)矢量的起點(diǎn)和第1個(gè)向量的終點(diǎn)重合。

如果我們平移矢量 $%5Coverrightarrow%7BBC%7D$ ，使其起點(diǎn)與點(diǎn) $A$ 重合，此時(shí)矢量和依然是 $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ ，即有

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B%5Coverrightarrow%7BAD%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAC%7D$

此時(shí) $%5Coverrightarrow%7BAC%7D$ 是以 $%5Coverrightarrow%7BAB%7D%EF%BC%8C%5Coverrightarrow%7BAD%7D$ 為邊的平行四邊形的對(duì)角線。此即矢量加法的平行四邊形法則，運(yùn)用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)矢量的起點(diǎn)需要重合。

在計(jì)算矢量的減法時(shí)，可以將減法轉(zhuǎn)化為加法

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D%2B(-%5Coverrightarrow%7BBC%7D)$

其中 $-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BCB%7D$ ，此時(shí)計(jì)算加法時(shí)，我們需要將 $-%5Coverrightarrow%7BBC%7D$ 平移一下，比如平移到 $%5Coverrightarrow%7BEA%7D$ ，則有

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D%5Coverrightarrow%7BAB%7D-%5Coverrightarrow%7BAE%7D%3D%5Coverrightarrow%7BEB%7D$

由上面的計(jì)算我們可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)適當(dāng)?shù)钠揭疲萌切畏▌t計(jì)算矢量的加減法更加方便。

坐標(biāo)描述

上面3個(gè)矢量的坐標(biāo)表示分別為

$%5Coverrightarrow%7BAB%7D%3D(2m%2C1m)%2C%5Coverrightarrow%7BBC%7D%3D(2m%2C-3m)%2C%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D(4m%2C-2m)$

由此不難推得矢量加減法的坐標(biāo)表示：

$(x_1%2Cy_1)%5Cpm(x_2%2Cy_2)%3D(x_1%5Cpm%20x_2%2Cy_1%5Cpm%20y_2)$

需要注意的是，在物理中，只有單位相同的矢量才可以進(jìn)行加減運(yùn)算。

0.6.3 矢量的乘法

數(shù)乘

幾何描述

顧名思義，就是將一個(gè)矢量和常數(shù) $%5Calpha$ 相乘，如圖

$%5Coverrightarrow%7BAC%7D%3D%5Calpha%5Coverrightarrow%7BAB%7D$

矢量在進(jìn)行數(shù)乘時(shí)，所在直線的方向不變。由此可知，所有的矢量都可以寫(xiě)成 $%5Cvec%20a%3Da%5Chat%20a$ 的形式，即矢量大小乘以單位向量。

坐標(biāo)描述

令 $%5Cvec%20a%3D(x%2Cy)$ .容易推得 $%5Calpha(x%2Cy)%3D(%5Calpha%20x%2C%5Calpha%20y)$ .

點(diǎn)乘

用點(diǎn)號(hào)” $%5Ccdot$ “表示的乘法。矢量點(diǎn)乘的結(jié)果又稱為“內(nèi)積”、“數(shù)量積”。

計(jì)算法則：

$%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%3D%7C%5Cvec%20a%7C%5Ccdot%7C%5Cvec%20b%7C%5Ccdot%5Ccos%5Clangle%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle$

可以看出，矢量點(diǎn)乘的結(jié)果是標(biāo)量，當(dāng)兩矢量垂直時(shí)，對(duì)應(yīng)數(shù)量積為0.

物理意義：

點(diǎn)乘對(duì)應(yīng)的物理情景是力的做功。

做功的定義是：如果物體受到力 $%5Cvec%20F$ 的作用，移動(dòng)了位移 $%5Cvec%20x$ 。那么力乘以物體沿著力的方向移動(dòng)的距離就等于力的做功。該距離在圖中為 $AD%3DAC%5Ccos%5Ctheta$ ，則做功

$W%3DFx%5Ccos%5Ctheta%3D%5Cvec%20F%5Cvec%20x$

（在不引起歧義時(shí)，點(diǎn)號(hào)可以省去）。

坐標(biāo)描述：

令 $%5Cvec%20a%3D(x_1%2Cy_1)%EF%BC%8C%5Cvec%20b%3D(x_2%2Cy_2)$

則

$%5Cvec%20a%5Ccdot%20%5Cvec%20b%3D(x_1%5Cvec%20i%2By_1%5Cvec%20j)(x_2%5Cvec%20i%2By_2%5Cvec%20j)$

$%3Dx_1x_2%5Cvec%20i%5E2%2By_1y_2%5Cvec%20j%5E2%2B(x_1y_2%2Bx_2y_1)%5Cvec%20i%5Ccdot%5Cvec%20j$

其中 $%5Cvec%20i%5E2%3D%5Cvec%20j%5E2%3D1$ ， $%5Cvec%20i$ 和 $%5Cvec%20j$ 垂直， $%5Cvec%20i%5Ccdot%5Cvec%20j%3D0$ ，得

$(x_1%2Cy_1)%5Ccdot(x_2%2Cy_2)%3Dx_1x_2%2By_1y_2$

運(yùn)算律

不難證明，矢量點(diǎn)乘滿足交換律和分配律：

$%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%3D%5Cvec%20b%5Ccdot%5Cvec%20a$

$%5Cvec%20a%5Ccdot(%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b%2B%5Cvec%20a%5Ccdot%20%5Cvec%20c$

不滿足結(jié)合律。

叉乘

用叉號(hào)” $%5Ctimes$ “表示的乘法。矢量叉乘的結(jié)果又稱為“外積”、“矢積”。

計(jì)算法則

$%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b%20%3D%7C%5Cvec%20a%7C%5Ccdot%20%7C%5Cvec%20b%7C%5Ccdot%20%5Csin%20%5Clangle%20%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b%5Crangle%20%5Ccdot%20%5Cvec%20e_k$

其中單位向量 $%5Cvec%20e_k%20$ 與 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 所在的平面垂直，方向滿足右手定則：

右手大拇指沿著 $%5Cvec%20e_k$ 方向時(shí)，四指環(huán)繞方向從 $%5Cvec%20a$ 到 $%5Cvec%20b$ .

不難看出，其模長(zhǎng) $%7C%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b%7C$ 表示以 $%5Cvec%20a%2C%5Cvec%20b$ 為邊的平行四邊形的面積。

物理意義：

叉乘對(duì)應(yīng)的物理情景是力矩。

在轉(zhuǎn)動(dòng)中，定義物體所受某個(gè)力大小為 $%5Cvec%20F$ ，力的作用點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢徑為 $%5Cvec%20r$ ，則有力矩 $%5Coverrightarrow%20M%3D%5Cvec%20r%5Ctimes%20%5Cvec%20F$ ，三者關(guān)系如圖

$%5Cleft%7C%7B%5Coverrightarrow%20M%7D%5Cright%7C%3DrF%5Csin(%5Cpi-%5Calpha)%3DF(r%5Csin%5Calpha)$

其中 $r%5Csin%5Calpha$ 即為初中介紹的力臂。

右手系

像上面滿足右手定則的空間直角坐標(biāo)系稱為右手系，右手系還可以這樣來(lái)描述：我們伸出右手，大拇指，食指和中指兩兩垂直，則大拇指代表 $x$ 軸，食指表示 $y$ 軸，中指表示 $z$ 軸。右手系滿足剛剛的右手定則。即：若 $%5Cvec%20i%2C%5Cvec%20j%2C%5Cvec%20k$ 分別為空間直角坐標(biāo)系中 $x%2Cy%2Cz$ 軸上的單位向量，有

$%5Cbegin%7Bcases%7D%7B%7D%20%5Cvec%20i%5Ctimes%20%5Cvec%20j%20%3D%20%5Cvec%20k%5C%5C%20%5Cvec%20j%20%5Ctimes%20%5Cvec%20k%20%3D%20%5Cvec%20i%20%5C%5C%20%5Cvec%20k%20%5Ctimes%20%5Cvec%20i%20%3D%20%5Cvec%20j%20%5Cend%7Bcases%7D$

上圖中的坐標(biāo)系就是一個(gè)右手系。紅色為x軸，綠色為y軸，藍(lán)色為z軸。

坐標(biāo)描述

我們定義二階行列式

$%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%20a%20%26%20b%20%5C%5Cc%20%26%20d%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%3Dad-bc$

若

$%5Cvec%20a%3D(x_1%2Cy_1%2Cz_1)%EF%BC%8C%5Cvec%20b%3D(x_2%2Cy_2%2Cz_2)$

有

$%5Cvec%20a%5Ctimes%5Cvec%20b%20%3D%20%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7D%5Cvec%20i%20%26%20%5Cvec%20j%20%26%20%5Cvec%20k%20%5C%5Cx_1%20%26%20y_1%20%26%20z_1%5C%5Cx_2%20%26%20y_2%20%26%20z_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C$
$%3D%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dy_1%20%26%20z_1%20%5C%5Cy_2%20%26%20z_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20i%20%2B%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dz_1%20%26%20x_1%20%5C%5Cz_2%20%26%20x_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20j%20%2B%5Cleft%7C%5Cbegin%7Barray%7D%7B%7Dx_1%20%26%20y_1%20%5C%5Cx_2%20%26%20y_2%20%5Cend%7Barray%7D%5Cright%7C%5Cvec%20k$
$%3D%20(y_1z_2-%20y_2z_1)%5Cvec%20i%20%2B%20(z_1x_2%20-%20z_2x_1)%20%5Cvec%20j%20%2B%20(x_1%20y_2%20-%20x_2%20y_1%20)%5Cvec%20k$

關(guān)于行列式的更多內(nèi)容，可以參考《線性代數(shù)》.

運(yùn)算律

不難證明，矢量叉乘滿足分配律和反交換律：

$%5Cvec%20a%5Ctimes%20(%5Cvec%20b%20%2B%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20c%2B%5Cvec%20b%5Ctimes%20%5Cvec%20c%0A%0A%5Cvec%20a%5Ctimes%5Cvec%20b%3D-%5Cvec%20b%5Ctimes%5Cvec%20a$

不滿足結(jié)合律。

其他運(yùn)算

拉格朗日公式：

$(%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b)%20%5Ctimes%20%5Cvec%20c%3D%5Cvec%20b(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20c)-%5Cvec%20a(%5Cvec%20b%5Ccdot%5Cvec%20c)$
$%5Cvec%20a%5Ctimes%20(%5Cvec%20b%20%5Ctimes%20%5Cvec%20c)%3D%5Cvec%20b(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20c)-%5Cvec%20c(%5Cvec%20a%5Ccdot%5Cvec%20b)$

混合積

$%5Cvec%20a%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20b%5Ctimes%20%5Cvec%20c)%20%3D%20%5Cvec%20b%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20c%5Ctimes%20%5Cvec%20a)%20%3D%20%5Cvec%20c%20%5Ccdot%20(%5Cvec%20a%5Ctimes%20%5Cvec%20b)$

標(biāo)簽：高中物理競(jìng)賽

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A-0-6矢量運(yùn)算(1/2)

0.6.1 矢量的表示

0.6.2 矢量的加減

0.6.3 矢量的乘法

數(shù)乘

點(diǎn)乘

叉乘

其他運(yùn)算