【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學(xué)叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學(xué)基礎(chǔ)自學(xué)內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學(xué)的一條龍數(shù)理化自學(xué)教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學(xué)教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』上傳成文字版。?

第五章變速直線運動?

§5-4勻加速直線運動的速度圖線

【01】在討論勻速直線運動時，我們曾經(jīng)提到過，物體的運動規(guī)律可以用數(shù)學(xué)公式來表示，也可以用圖線來表示。在§5-3中我們已經(jīng)列出了勻加速直線運動的運動規(guī)律的數(shù)學(xué)表達式，在本節(jié)中我們將討論它的圖線表示法。但是限于數(shù)學(xué)知識，我們這里只講它的速度圖線。

【02】先作初速度等于零、加速度等于2米/秒2的勻加速直線運動的速度圖線。根據(jù)v=at，計算出運動開始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

【03】作坐標軸，在時間軸Ot上根據(jù)選定的標度從O點起依次截取等長的線段，每一段代表1秒鐘。同樣地，在速度軸Ov上根據(jù)選定的標度從O點起依次截取等長的線段，每一段代表1米/秒（圖5·4）。

【04】然后再在圖中找出與表中所列各對應(yīng)值如(0,0)、(1,2)等的點O、A、B、C……來。把這些點聯(lián)結(jié)起來，就得到一條通過坐標原點的傾斜的直線。這就是初速度等于零的勻加速直線運動的速度圖線。

【05】如果要畫出初速度不等于零，例如v?=2米/秒，a=1米/秒2的勻加速直線運動的速度圖線，則先根據(jù)公式v=v?+at，計算出運動開始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

【06】同樣地，作坐標軸，在時間軸Ot上截取相等的線段，每一線段代表1秒的時間；在速度軸Ov上也截取相等的線段，每一線段代表1米/秒的速度。再在圖中找出上表中所列各對應(yīng)值如(0,2)、(1,3)等的點A、B、C……來。把這些點聯(lián)結(jié)起來，就得到一條不通過坐標原點的傾斜的直線。這就是初速度不等于零的勻加速直線運動的速度圖線（圖5·5）。

【07】從圖5·4和圖5·5中可以看出：勻加速直線運動的速度圖線是一條傾斜的直線。當初速度等于零時，這條直線通過原點，因為t=0時，物體的速度也等于零；初速度不等于零時，它不通過原點，因為t=0時，物體的速度不等于零。

【08】和上一章所講的勻速直線運動的速度圖線一樣，從勻加速直線運動的速度圖線中，我們可以得出下列結(jié)論：

【09】(1)利用速度圖線，很容易求出運動物體在任何時刻的即時速度。同時也可以求出達到某一速度時所用的時間。

【10】(2)如果在同一坐標圖中，作幾個加速度不同的速度圖線，我們很容易看出：加速度越大的運動，它的速度圖線越陡；加速度越小的運動，它的速度圖線越平。

【11】(3)利用速度圖線，可以確定運動物體在一定時間內(nèi)所通過的路程。圖5·6表示從初速度等于零的勻加速直線運動的速度圖線求出它在時間t內(nèi)所通過的路程。這個路程的數(shù)值等于這樣一個直角三角形的面積（畫斜線的部分），斜邊是速度圖線，底邊是時間軸，另一邊是與時間軸垂直的由運動時間所決定的直線。圖5·7表示從初速度不等于零的勻加速直線運動的速度圖線求它在時間t內(nèi)所通過的路程。這個路程的數(shù)值是這樣一個梯形的面積（畫斜線的部分）：斜邊是速度圖線，它的對邊是時間軸，兩條互相平行的邊中的一條是速度軸，另一條是與時間軸垂直的由運動時間所決定的直線。

【12】根據(jù)數(shù)學(xué)公式，這個梯形的面積是

【13】這就是運動物體在時間內(nèi)所通過的路程?？梢钥闯?，這個結(jié)果和我們前面用其他方法求得的結(jié)果相同。如圖所示，這一面積也可以看作是一個直角三角形和一個長方形的面積之和。

例5.作v?=10米/秒，a=-1米/秒2的勻減速直線運動的速度圖線。

【解】

????????根據(jù)公式心v=v?+at，求出運動開始后第一秒末、第二秒末、第三秒末……的速度，并列成下表：

????????如圖5·8所示，作坐標軸，在時間軸Ot上截取相等的線段，每一段代表1秒；在速度軸Ov上也截取相等的線段，每一段代表1米/秒。

????????再把上表中所列的各對應(yīng)值的點找出來，聯(lián)結(jié)這些點，就得到一條向下傾斜的直線，這就是我們所要求的速度圖線。

????????與圖5·4和5·5比較，我們就知道：勻加速直線運動和勻減速直線運動的速度圖線都是一條傾斜的直線。但前者向上升，表示速度越來越大，是加速；后者向下傾，表示速度越來越小，是減速。和勻加速直線運動速度圖線一樣，利用勻減速直線運動速度圖線，也能夠求出物體運動的速度和路程等。

例6.升降機從靜止開始作勻加速直線運動，上升了5秒鐘后，它的速度達到3米/秒，然后就以這個速度上升了6秒鐘，最后又作勻減速直線運動上升了3秒鐘才停止。求(1)開始上升5秒鐘的加速度和這段時間內(nèi)所通過的路程；(2)作勻減速直線運動時的加速度和3秒鐘內(nèi)所通過的路程；(3)在這14秒鐘內(nèi)上升的總路程；(4)作它們的速度圖線，并指出各段時間內(nèi)所通過的路程。

【解】

(1)升降機從靜止開始上升的5秒鐘內(nèi)是作初速度等于零的勻加速運動，所以用公式v=at，得3米/秒=a×5秒? ；∴a=0.6米/秒2，

????????再用公式S=1/2at2，得到在這5秒鐘內(nèi)升降機上升的路程S?為：

(2)中段是以3米/秒的速度作勻速直線運動6秒鐘，應(yīng)用公式S=vt，得到在這6秒鐘內(nèi)升降機上升的路程S?：S?=3米/秒×6秒=18米。

(3)最后3秒鐘是作勻減速運動，v?=3米/秒，v=0，所以應(yīng)用公式v=v?-at，得0=3米/秒-a×3秒；? ∴a=1米/秒2，

????????再用公式S=v?t-1/2at2，并以v?=3米/秒，t=3秒，a=1米/秒2代入就得到升降機在最后3秒鐘內(nèi)所通過的路程S?：S?=3米/秒×3秒-1/2×1米/秒2×32秒2=4.5米。

????????所以在這14秒鐘內(nèi)上升的總路程S為：S=S?+S?+S?=7.5米+18米+4.5米=30米。

(4)各段的速度圖線如圖5·9所示。第一段5秒鐘內(nèi)所通過的路程的數(shù)值等于△OAE的面積，即1/2×3×5=7.5；第二段6秒鐘內(nèi)所通過的路程的數(shù)值等于長方形ABDE的面積，即3×6=18；最后一段3秒鐘內(nèi)所通過的路程的數(shù)值等于△BCD的面積，即1/2×3×3=4.5。所以在這14秒鐘內(nèi)所通過的總路程是7.5+18+4.5=30米。

????????所以，(1)在升降機開始上升的5秒鐘內(nèi)，加速度等于0.6米/秒2，并通過了7.5米的路程；(2)然后作勻速直線運動6秒鐘，并通過了18米的路程；(3)在最后3秒鐘內(nèi)，升降機作勻減速直線運動，加速度是-1米/秒2，并通過了4.5米的路程；(4)這樣，升降機在這14秒鐘內(nèi)一共上升了30米的路程。

習題5-4

1、作v?=0，a=4厘米/秒2的勻加速直線運動的速度圖線，并求出它運動5秒鐘后所通過的路程?！?0厘米】

2、作v=8米/秒，a=-1米/秒2的勻減速直線運動的速度圖線，并求出它在停止運動前所通過的路程。【32米】

3、汽車在過橋以后最初5分鐘用5米/秒的速度作勻速直線運動，后來又用0.25米/秒2的加速度作勻加速直線運動，再經(jīng)過20秒鐘時經(jīng)過一所學(xué)校的大門，求汽車在經(jīng)過學(xué)校大門時的速度和橋到大門的距離，并作出汽車的速度圖線?！?0米/秒，1650米】

4、一個從靜止開始作勻加速運動的物體，在第一秒未的速度是1米/秒。問它在前2秒鐘內(nèi)、前5秒鐘內(nèi)所通過的路程分別是多少？它在第5秒末的速度是多少？它在第5秒內(nèi)通過的路程是多少？畫出它的速度圖線。[提示：第5秒內(nèi)通過的路程可以用前5秒鐘內(nèi)通過的路程減去前4秒鐘內(nèi)通過的路程來求得]【2米，12.5米，5米/秒，4.5米】