這幾次都是書上的例題，這次的題目對之前數(shù)列極限一個結(jié)論的推廣，結(jié)論要記住，以后會反復(fù)用到——

54例題

g.一個重要極限：lim sin x/x=1，x趨向于0時

后面證明了泰勒公式，這個可以直接泰勒展開一步搞定，現(xiàn)在用幾何法：取單位圓O，取兩條半徑OA，OB做三角形OAB，過A點(diǎn)做OA的垂線OC與OB延長線交于D點(diǎn)，得到新的三角形OAD，∠AOB=x（0<x<π/2）——

1. 由面積易得：S三角形OAB<S扇形OAB<S三角形OAD，即OA*OBsin x<OAx<OB*OAtan x；

2. 對單位圓OA=OB=1，即得sin x<x<tan x；

3. 簡單變形：1/sin x>1/x>cos x/sin x，1>sin x/x>cos x，0<1-sin x/x<1-cos x；

4. 1-cos x=2sin^2（x/2）<2sin（x/2）<x；

5. 0<1-sin x/x<x，則0<x<π/2，lim（sin x/x）=1，x趨向于0時；

6. π/2<x<0時，1-sin x/x=1-[-sin（-x）]/[-（-x）]=1-sin（-x）/（-x）<-x=|x|，則lim（sin x/x）=1，x趨向于0時；

7. 復(fù)述定義：lim（sin x/x）=1，x趨向于0時，即對于任意小數(shù)ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x|<δ時，|sin x/x-1|<ε；

8. 由5,6：|sin x/x-1|<|x|<π/2，所以取定δ=min{ε，π/2}即可。

習(xí)題——

求數(shù)列極限lim cos ψ/2*cos ψ/2^2*……*cos ψ/2^n

解——

1. lim?cos?ψ/2*cos?ψ/2^2*……*cos?ψ/2^n

   =lim（1/sin?ψ/2^n）lim?cos?ψ/2*cos?ψ/2^2*……*cos?ψ/2^n*sin?ψ/2^n

   =lim（1/sin?ψ/2^n）lim?cos?ψ/2*cos?ψ/2^2*……*cos?ψ/2^（n-1）*sin?ψ/2^（n-1）*（1/2）

   =lim（1/sin?ψ/2^n）lim sin ψ*（1/2）^n

   =lim ψ/2^n /sin?ψ/2^n lim?sin?ψ/ψ

   =sin?ψ/ψ

到這里！