高階單元、低階單元、完全積分、縮減積分，分別表示什么概念，各自的適用情況是什么樣的，這些單元如何選擇？本文以三維問題中的實體單元為例說明單元的特性以及使用情境。

本文關(guān)鍵詞：高階單元、低階單元、二次單元、線性單元、完全積分、縮減積分、沙漏控制、剪切自鎖、體積鎖定

線性單元與二次單元

以六面體單元（Hex）為例：

當(dāng)六面體單元上有8個節(jié)點時，我們稱其為線性/低階/一階單元（如ABAQUS中的C3D8），當(dāng)每條邊中間多一個節(jié)點時稱為二次/高階/二次單元，包含20個節(jié)點（如C3D20），單元中間節(jié)點存在影響了形函數(shù)的階次（詳細(xì)參考有限單元法中形函數(shù)的構(gòu)造）。

高階的形函數(shù)可以在位移結(jié)果可靠基礎(chǔ)上，得到更準(zhǔn)確的應(yīng)變和應(yīng)力值（參考前面的應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣對位移插值得到應(yīng)變和應(yīng)力結(jié)果）；對于具有曲面和曲邊的幾何能更好擬合；且高階單元相比低階收斂速度更高，可通過細(xì)化網(wǎng)格更快的收斂于精確解，但是因為節(jié)點的增加導(dǎo)致了計算成本的增高，相信有過實際項目的大家也有所體會。

通常情況下為了出于計算量考慮選擇低階單元也能獲得還算不錯的結(jié)果。

完全積分與縮減積分

前面我們說過有限元法在單元上采用數(shù)值積分對解析積分進行處理，因此引入了積分點的概念。

有限元軟件中普遍使用的是等參元，為了進行數(shù)值積分計算需要在積分點上找到被積函數(shù)的值，在單元上的積分點位置和對應(yīng)的權(quán)系數(shù)因數(shù)值積分方法不同而不同，通常采用的是高斯積分，高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項次精確積分所需要階數(shù)的積分方案，稱之為精確積分或完全積分。

對于上面提到的六面體單元C3D8，如果使用8個積分點，則稱為線性完全積分單元，在使用完全積分的情況下，當(dāng)單元尺寸不斷減小時, 有限元解單調(diào)地收斂于精確解（應(yīng)力奇異處除外）。但是當(dāng)承受彎曲載荷時，會出現(xiàn)剪切自鎖，造成單元過于剛硬。（圖中為三維單元單一視角或平面單元示意，圓點為節(jié)點位置，x為積分點示意位置）

C3D20對應(yīng)的二次完全積分單元包含27個積分點，其優(yōu)點是應(yīng)力計算結(jié)果很精確，且基本沒有剪切自鎖問題。但是用這種單元時要注意：不能用于接觸分析；對于不可壓縮的非線性分析，比如類橡膠類材料（要注意，這里的不可壓縮指體積不可壓縮，不是指壓縮下不變形），容易產(chǎn)生體積自鎖。

若線性單元只使用一個積分則被稱為（線性）縮減積分，縮減積分使用更少的積分點和更簡單的形函數(shù)，因此求解更有效率，并且當(dāng)網(wǎng)格夠精細(xì)時也可以獲得較準(zhǔn)確地結(jié)果，不會存在剪切自鎖現(xiàn)象。但是只有四邊形和六面體單元才能使用縮減積分，并且縮減積分還存在另人困惑的沙漏行為。

對應(yīng)的在二次單元每條邊方向上均減少一個積分點的單元稱為二次縮減積分單元，該種單元不僅基本不存在自鎖現(xiàn)象，而且有效減少沙漏行為的影響，但是不能用于接觸分析；不能應(yīng)用于大應(yīng)變問題。

本次重點說了節(jié)點與積分點概念上單元類型的概念和選擇，下期我們談?wù)効s減積分單元的沙漏行為、完全積分單元中存在的剪切自鎖、體積自鎖的原因以及四面體單元相較六面體單元的優(yōu)劣。