【種花家務(wù)·代數(shù)】1-1-15有理數(shù)的除法『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』

2023-09-12 16:02 作者:山嵓 0人讀過 | 我要投稿

【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學(xué)”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學(xué)酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊的基礎(chǔ)上又添加了1冊八五人教中學(xué)甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊、幾何5冊實在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認為《微積分初步》這本書對“準大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當年那樣被高數(shù)打了個措手不及。?

第一章有理數(shù)??

§1-15有理數(shù)的除法

【01】在算術(shù)里，我們已經(jīng)知道，除法是乘法的逆運算，就是：已知兩個因數(shù)的積與其中一個不等于零的因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算。這個已知的積在除法里叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，求得的結(jié)果就是另一個因數(shù)，在除法里叫做商。有理數(shù)除法的意義還是一樣.象有理數(shù)的減法一樣，我們可以從這個逆運算關(guān)系來研究有理數(shù)的除法法則。

【02】從乘法 (＋7)×(＋3)＝＋21，依照逆運算關(guān)系，可得 (＋21)÷(＋3)＝＋7……(1)? 。

【03】從乘法 (＋7)×(－3)＝－21，依照逆運算關(guān)系，可得 (－21)÷(－3)＝＋7……(2)? 。

【04】從乘法 (－7)×(＋3)＝－21，依照逆運算關(guān)系，可得 (－21)÷(＋3)＝－7……(3)? 。

【05】從乘法 (－7)×(－3)＝＋21，依照逆運算關(guān)系，可得 (＋21)÷(－3)＝－7……(4)? 。

【06】從乘法 0×(＋3)＝0，及 0×(－3)＝0，依照逆運算關(guān)系，可得 0÷(＋3)＝0……(5)，0÷(－3)＝0? ……(6)? 。

【07】從上面這些例子中，可以看出：

【08】(1)正數(shù)除以正數(shù)，商是正數(shù)；

【09】(2)負數(shù)除以負數(shù)，商也是正數(shù)；

【10】(3)負數(shù)除以正數(shù)，商是負數(shù)；

【11】(4)正數(shù)除以負數(shù)，商也是負數(shù)；

【12】(5)零除以正數(shù)，商是零；

【13】(6)零除以負數(shù)，商也是零。

【14】至于商的絕對值，則在任何一個情況下，都等于被除數(shù)的絕對值除以除數(shù)的絕對值所得的商。

【15】綜合上面的結(jié)論，就得到有理數(shù)除法法則：

【16】(ⅰ)正負符號相同的兩個數(shù)相除，商是一個正數(shù)，它的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的商；

【17】(ⅱ)正負符號相反的兩個數(shù)相除，商是一個負數(shù)，它的絕對值等于這兩個數(shù)的絕對值的商；

【18】(ⅲ)零除以一個不等于零的數(shù)，商是零。

【19】為了便于記憶，我們把上面(ⅰ)、(ⅱ)兩條法則，概括起來，得到?jīng)Q定商的正負符號的口訣：同號相除得正數(shù)，異號相除得負數(shù)。

【20】這里還必須注意：零不能做除數(shù)，任何數(shù)除以零沒有意義，零除以零也沒有意義。在有理數(shù)范圍內(nèi)，和在算術(shù)里一樣，我們?nèi)耘f作這樣的規(guī)定。

例1.做下列除法：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)(%2B48)%5Cdiv(%2B6)%3B%5Cquad%26%26(2)(-48)%5Cdiv(-6)%3B%26%20%20%20%5C%5C%0A%26%26(3)(-0.4)%5Cdiv(%2B0.002)%3B%26%26(4)(%2B1)%5Cdiv(-1)%3B%20%5C%5C%0A%26%26(5)%5Cleft(-3%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%3B%26%26(6)(%2B3.3)%5Cdiv%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%26(7)%5Cleft(-2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cdiv(-5)%5Ctimes%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3B%20%5C%5C%0A%26%26(8)%5CBig(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5CBig)%5Cdiv%5CBig(%2B2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5CBig)%5Cdiv%5CBig(%2B1%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5CBig).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)(%2B48)%5Cdiv(%2B6)%3D%2B8%3B%20%5C%5C%0A%26%26(2)(-48)%5Cdiv(-6)%3D%2B8%3B%20%5C%5C%0A%26%26(3)(-0.4)%5Cdiv(%2B0.002)--%5Cfrac%7B0.4%7D%7B0.002%7D%3D-%5Cfrac%7B400%7D2%3D-200%2C%20%5C%5C%0A%26%26(4)(%2B1)%5Cdiv(-1)%3D-1%3B%20%5C%5C%0A%26%26(5)%5Cleft(-3%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-5%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)-%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%5Cdiv%5Cfrac%7B11%7D%7B2%7D%5Cright)%20%3D%5Cfrac%7B11%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B2%7D%7B11%7D%3D%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(6)(%2B3.3)%5Cdiv%5CBig(-3%5Cfrac13%5CBig)%20%3D%5Cfrac%7B33%7D%7B10%7D%5Cdiv%5Cleft(-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Cright)%20%3D-%5CBig(%5Cfrac%7B33%7D%7B10%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B10%7D%5CBig)%3D-%5Cfrac%7B99%7D%7B100%7D%3B%20%5C%5C%0A%0A%26%26(7)%5Cleft(-2%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cright)%5Cdiv(-5)%5Ctimes%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%2B%5Cleft(%5Cfrac%7B5%7D%7B2%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%26%3D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ctimes%5Cleft(-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%3D-1%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%0A%0A%26%26(8)%5Cleft(-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B2%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B1%5Cfrac%7B1%7D%7B5%7D%5Cright)%20%3D%5Cleft(-%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B3%7D%7B7%7D%5Cright)%5Ctimes%5Cleft(%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cright)%20%5C%5C%0A%26%26%3D-%5Cleft(%5Cfrac%7B10%7D%7B3%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B3%7D%7B7%7D%5Ctimes%5Cfrac%7B5%7D%7B6%7D%5Cright)%3D-%5Cfrac%7B50%7D%7B42%7D%20%3D-%5Cfrac%7B25%7D%7B21%7D%3D-1%5Cfrac%7B4%7D%7B21%7D.%0A%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

例2.化簡下列分數(shù)： $%5Cscriptsize(1)%5Cfrac%7B-3%7D%7B-5%7D%3B%5Cquad(2)-%5Cfrac%7B10%7D%7B-6%7D%3B%5Cquad(3)-%5Cfrac%7B-12%7D%7B18%7D%3B%5Cquad(4)-%5Cfrac%7B-4%7D%7B-8%7D$ ? 。

【解】

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%26(1)%5Cfrac%7B-3%7D%7B-5%7D%3D%5Cfrac%7B3%7D%7B5%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(2)-%5Cfrac%7B10%7D%7B-6%7D%3D-%5Cleft(-%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%2B%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%0A%26%26(3)-%5Cfrac%7B-12%7D%7B18%7D%3D-%5Cleft(-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%5Cright)%3D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%3B%5C%5C%26%26(4)-%5Cfrac%7B-4%7D%7B-8%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D.%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【21】從上例可以知道：一個分數(shù)有三個地方有性質(zhì)符號：分子，分母與分數(shù)本身，如果三個地方有兩個負號，這兩個負號可以互相約掉。

習(xí)題1-15

計算：

$%5Cscriptsize%5Cbegin%7Beqnarray%7D%0A%26%261.(-128)%5Cdiv(-4).%5Cquad%26%26%202.(%2B5)%5Cdiv(-%5Cfrac12).%20%20%5C%5C%0A%26%263.%20(-6)%5Cdiv(10).%26%26%204.%5Cleft(-%5Cfrac23%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B%5Cfrac56%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%26%265.(%2B14)%5Cdiv(-0.4).%26%26%206.%5Ctext%7B(%7D-0.02)%5Cdiv(%2B0.1).%20%20%5C%5C%0A%26%267.%200%5Cdiv(-16).%26%26%208.0%5Cdiv(%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D).%20%20%5C%5C%0A%26%269.%5Cleft(%2B5%5Cfrac13%5Cright)%5Cdiv(-7%5Cfrac15).%26%26%2010.%5Cleft(-3%5Cfrac23%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(%2B1%5Cfrac29%5Cright).%20%20%5C%5C%0A%26%26%2011.(-0.5)%5Cdiv(-0.32).%20%26%26%2012.%5Ctext%7B%20(-3)%7D%5CBig(%2B%5Cfrac13%5CBig).%20%20%5C%5C%0A%26%2613.%20%5Cleft(%2B%5Cfrac23%5Cright)%5Cdiv(-5).%20%26%26%2014.%203%5Cdiv(-0.3)%E3%80%82%20%20%5C%5C%0A%26%2615.%20%5Cfrac%7B-0.3%7D%7B3%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%7D.%20%26%26%2016.%5Cfrac1%7B-0.3%7D.%20%5C%5C%0A%26%2617.%5Cfrac1%7B-%5Cfrac12%7D.%26%2618.%5Cfrac%7B-%5Cfrac12%7D3.%5C%5C%26%2619.(-0.33)%5Cdiv%5Cleft(%2B%5Cfrac13%5Cright)%5Cdiv(-9).%5C%5C%26%2620.%5Cleft(-%5Cfrac13%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-%5Cfrac1%7B0.9%7D%5Cright)%5Cdiv%5Cleft(-%5Cfrac27%5Cright).%0A%5Cend%7Beqnarray%7D$

【15、 $%5Cscriptsize-%5Cfrac%7B9%7D%7B110%7D%20$ ；16、 $%5Cscriptsize-3%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%20$ ；17、－2；18、 $%5Cscriptsize-%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D%20$ ；19、 $%5Cscriptsize%5Cfrac%7B11%7D%7B100%7D%20$ ；20、 $%5Cscriptsize-1%5Cfrac%7B1%7D%7B20%7D%20$ 】