最近看了中二視頻：大偵探牛頓

想起以前看《微積分發(fā)展史》中關(guān)于牛頓發(fā)明微積分部分的原文，很抽象。

注：《微積分發(fā)展史》，也就是《The Historical Development of Calculus》Edwards,C.H.作。

由于當(dāng)時(shí)是從常州圖書館借的，手上沒(méi)有中文版：

網(wǎng)上也沒(méi)找到中文pdf。于是到外網(wǎng)找到了英文pdf，再把相關(guān)內(nèi)容看了一下。

注：關(guān)于牛頓的原文pdf里應(yīng)該不是拼寫錯(cuò)誤？應(yīng)該是拉丁文。而且原書里只是摘錄部分內(nèi)容，缺少上下文，感覺(jué)符號(hào)上看得很懵逼。不過(guò)道理大概懂了。

原書：

上面內(nèi)容根據(jù)紅線分2部分。說(shuō)老實(shí)話第2部分，一旦接受了f(x+ox',y+oy')=0那就不需要啥解釋了，不知道和第1部分有啥關(guān)系，是不是得得出第1部分的結(jié)論，才能繼續(xù)推出第2部分...

總之比較難理解的是第1部分。

問(wèn)題描述：

牛頓其實(shí)是想找“任意曲線”的切線表達(dá)式。這個(gè)“任意曲線”就是sigma(a[i,j]*x^i*y^j)=0，這個(gè)a[i,j]沒(méi)啥特殊含義，就是表示它是x^i*y^j前面的系數(shù)。

牛頓能力：

“拆分之眼”

牛頓工具：

估計(jì)是物理學(xué)家習(xí)慣，牛頓習(xí)慣將曲線線上任意點(diǎn)認(rèn)為是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)p(x,y)，也不關(guān)心其二維變化，而是拆分成x軸和y軸運(yùn)動(dòng)，這樣方便研究，就像斜拋運(yùn)動(dòng)中拆分水平勻速運(yùn)動(dòng)和垂直加速運(yùn)動(dòng)一樣，為了研究方便可以假設(shè)x軸的運(yùn)動(dòng)是勻速運(yùn)動(dòng)。

流數(shù)：這是比較抽象的。我感覺(jué)他不是一種無(wú)窮小的概念，而是某種程度上假定了時(shí)間是有“最小單位”的，稱之為flux。對(duì)于每一個(gè)flux，p在x,y軸的運(yùn)動(dòng)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的fluxsion x',y'，在這個(gè)flux中，p點(diǎn)就是做了一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)。如果以現(xiàn)代符號(hào)說(shuō)明，設(shè)flux中經(jīng)過(guò)了時(shí)間dt，那么p點(diǎn)的位移就是dx,x'=dx/dt。同理y'=dy/dt。所以可以看出所謂“流數(shù)”是一個(gè)平均速度，但又不是真的平均速度，因?yàn)閐t無(wú)限小，也不是瞬時(shí)速度，因?yàn)樗形灰?。（說(shuō)不定“平均速度”和“瞬時(shí)速度”這2個(gè)概念才比較誤導(dǎo)人）。

第一部分（主打抽象，和忽略無(wú)窮小無(wú)關(guān)，可以跳過(guò)）

關(guān)于第一部分的結(jié)論，牛頓幾乎是寫了一段話，就直接從原函數(shù)sigma(a[i,j]*x^i*y^j)=0，得出結(jié)論sigma((i*x'/x+j*y'/y)*a[i,j]*x^i*y^j)=0，也就是多了一個(gè)系數(shù)(i*x'/x+j*y'/y)。關(guān)于這個(gè)系數(shù)怎么來(lái)的全靠這段話：

我只能說(shuō)...抽象。乍一看，這不就是把結(jié)論讀了一遍？

我們來(lái)仔細(xì)還原這段話的“心路歷程”。

注意！這里開(kāi)始抽象起來(lái)了！

首先，看函數(shù)y=x，套用流數(shù)體系，明顯有dx/x = dy/y，也就是

x'dt/x = y'dt/y

約去兩邊dt得到

x'/x = y'/y

假設(shè)這個(gè)比例為k,

k=x'/x=y'/y

那么對(duì)于一個(gè)范例函數(shù)y=x^2，由于兩邊相等，所以都可以乘一個(gè)k。但是x^2不是x。。。

這里就只能說(shuō)是他的直覺(jué)了（不好洗...）

總之，"as x hath dimensions in that term"，既然是x^2那就k+k吧。

所以k*y ~~?(2k)x^2

(y'/y)*y == (2*x'/x)*x^2

推廣到原函數(shù)，就是(i*x'/x+j*y'/y)。

退一萬(wàn)步講，就算他是碰巧湊出來(lái)的，人家也是對(duì)的。。。

以y=x^2為例子，y-x^2=0

設(shè)y=t^2,x=t，代入他的結(jié)論：

(dy/dt/y)*y-(2*dx/dt/x)*x^2=0

(2t/t^2)*t^2-(2*1/t)*t^2=0

2t-2t=0 （確實(shí)沒(méi)毛病）

第二部分

紅線以下的第二部分推導(dǎo)就是正兒八經(jīng)的y=x^n導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)了，和現(xiàn)代的教學(xué)過(guò)程差不多。不過(guò)其實(shí)和高中的一些教材推導(dǎo)是有小差別的。

總之一個(gè)關(guān)鍵的結(jié)論就是有f(x,y)=0，就有f(x+o*x',y+o*y')=0，這里o和我前面用的dt含義是一樣的。所以就是f(x+o*dx/o,y+o*dy/o)=0。

例子，用這個(gè)辦法，推導(dǎo)y=x^2的切線方向。

對(duì)于牛頓來(lái)說(shuō)，得到切線方向才是最終目標(biāo)，也就是y'/x'。

y-x^2=0得y+o*y'-(x+o*x')^2=0

展開(kāi)整理(y-x^2)+o*y'-2*o*x*x'-o^2*x'^2=0

前面=0可以刪去，如果再舍去o^2項(xiàng)，那么

o*y'-2*o*x*x'=0

照理如果o是0，是不好除的。但它的設(shè)定是“flux”，那么不是0，可以除。

切線斜率就是2*x。

那么為什么可以舍去呢？這個(gè)國(guó)內(nèi)外網(wǎng)上都查不到解釋得比較好得，反倒是AI回答直接點(diǎn)醒：你tmd需求就決定了應(yīng)該舍棄啊，你問(wèn)我為啥不要？你要的就是切線，一次近似，就是含o的一次項(xiàng)。

“直線之所以為直線，就是因?yàn)樗诿恳粋€(gè)瞬間都是同一條直線”——中二患者

這時(shí)候再來(lái)看你用高中推導(dǎo)過(guò)程，實(shí)際上非常抽象的。

y(x+dx)-y(x) : dx?=2*x+dx?~~2*x

我們之所以可以直接除dx，那就dx不是0啊。但是到結(jié)果的時(shí)候，又舍去了dx，因?yàn)樗浅Ｐ?？把它?dāng)0了？這是非?；煜?。

但是用牛頓的推導(dǎo)法，你就可以很清楚明白，為什么舍去含o的高次項(xiàng)目？因?yàn)槲覀円氖?次近似。為什么可以除？因?yàn)閛是flux，我們從來(lái)沒(méi)有忽略o的一次項(xiàng)，更不用說(shuō)o*x'=dx。

PS：

我就一數(shù)學(xué)渣渣，大學(xué)掛科無(wú)數(shù)。有不對(duì)請(qǐng)多指正，謝謝。