上次提到——

海涅歸結(jié)原理：函數(shù)f在a處有極限A的充要條件是，對任何一個收斂于a的數(shù)列（xn不為a：n=1，2，3，……），數(shù)列f（xn）有極限A.

今天講這個定理的證明，充要條件，必然分為充分性和必要性兩部分。

a.必要性

已知：f（x）在x=a處收斂于A。

求證：對任何一個收斂于a的數(shù)列（xn不為a：n=1，2，3，……），數(shù)列f（xn）有極限A。

證明——

1. 已知f（x）在x=a處收斂于A，即對任意ε>0，存在δ>0，當(dāng)0<|x-a|<δ，|f（x）-A|<ε；

2. 數(shù)列{xn}收斂于a，即任意給定δ>0，存在自然數(shù)N，n>N時，0<|xn-a|<δ；——只要在a的δ鄰域內(nèi)一直取，異于a的值即可，不等號右邊自然成立；

3. 結(jié)合1，2，已知f（x）在x=a處收斂于A，即對任意ε>0，對應(yīng)δ>0，存在自然數(shù)N，n>N時，0<|xn-a|<δ，則|f（xn）-A|<ε，

   即任意ε>0，存在自然數(shù)N，n>N時，則|f（xn）-A|<ε，即數(shù)列{f（xn）}以A為極限。

b.充分性

已知：對任何一個收斂于a的數(shù)列（xn不為a：n=1，2，3，……），數(shù)列f（xn）有極限A。

求證：f（x）在x=a處收斂于A。

證明（反證法——）

1. 假設(shè)f（x）在x=a處不收斂于A，即存在ε0>0，對于任意δ>0，當(dāng)0<|x-a|<δ，|f（x）-A|>ε0；

2. 取一列正無窮小{δn}；

3. 構(gòu)造數(shù)列{x'n}，使得0<|x'n-a|<δn，由1，對于任意n，|f（x'n）-A|>ε0，即f（x'n）不以A為極限，矛盾，證畢。

就到這里。