技術(shù)干貨 | Modelica建模秘籍之狀態(tài)變量

2023-02-27 14:12 作者:同元軟控 0人讀過 | 我要投稿

在很多領(lǐng)域都有“系統(tǒng)”這個概念，它描述的往往是一些復(fù)雜關(guān)系的總和。假如我們將系統(tǒng)看做一個黑箱，那么，在系統(tǒng)的作用下，外界的輸入有時會產(chǎn)生令人意想不到的輸出，“蝴蝶效應(yīng)”就是其中的典型案例。

圖1 一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起美國得克薩斯州的一場龍卷風(fēng)

“蝴蝶效應(yīng)”的實質(zhì)是在一個確定性系統(tǒng)中，存在著看似隨機(jī)的不規(guī)則運動，其行為直觀表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測，即混沌系統(tǒng)。此時將混沌系統(tǒng)理解為黑盒系統(tǒng)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，我們需要通過系統(tǒng)的初始狀態(tài)求解系統(tǒng)未來時刻的狀態(tài)。

基于同樣的原理，我們在Modelica中進(jìn)行系統(tǒng)建模時，通過求解狀態(tài)變量確定系統(tǒng)狀態(tài)，對系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)仿真。假如你還存在如下疑問：

1.?如何實現(xiàn)動態(tài)系統(tǒng)建模?

2.?如何規(guī)定狀態(tài)變量？

3.?為什么系統(tǒng)初值非常重要？

4.?怎樣建?？梢蕴岣呦到y(tǒng)計算效率？

那么請你一定認(rèn)真讀完本篇技術(shù)干貨，小編帶你全面認(rèn)識Modelica建模中的狀態(tài)變量。

一、什么是動態(tài)系統(tǒng)？

首先，大家需要理解一點：系統(tǒng)可以分為動態(tài)系統(tǒng)和靜態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)變量只有在動態(tài)系統(tǒng)中才有意義。我們可以舉一個簡單電路系統(tǒng)的例子，下圖分別為只含有電阻的電路與只含有電容的電路，其中u(t)為輸出電壓，i(t)為輸入電流，那么電路系統(tǒng)的方程可以寫為如下形式：

$u_R%5Cleft(t%5Cright)%3DRi_R%5Cleft(t%5Cright)$

$u_c%5Cleft(t%5Cright)%3Du_0%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BC%7D%5Cint_%7Bt_0%7D%5E%7Bt%7Di%5Cleft(t%5Cright)dt$

顯然，對于含容電路來說，系統(tǒng)的狀態(tài)受到過去影響隨時間變化，這樣的系統(tǒng)就被稱為動態(tài)系統(tǒng)。

二、?什么是狀態(tài)變量？

狀態(tài)變量首先由控制學(xué)科中引入，定義為動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為確定動態(tài)系統(tǒng)的最小一組變量。只要知道 $t%3Dt_0$ 時刻這組變量以及 $t%E2%89%A5t_0$ 時的輸入，就可以完全確定系統(tǒng)的在任何 $t%E2%89%A5t_0$ 時刻的行為。

那么，由這些狀態(tài)變量組成的一個向量稱為狀態(tài)向量，而狀態(tài)向量存在的空間稱為狀態(tài)空間。動態(tài)系統(tǒng)的任何狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一個點來表示，動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變化可以描述為狀態(tài)矢量端點隨時間變化描繪出的路徑。

上述定義有些抽象復(fù)雜，下面舉一個簡單案例以幫助大家理解。將一封閉容腔中裝滿水并且對水進(jìn)行加熱，若已知水的壓力和溫度，我們就可以推斷出當(dāng)前水的狀態(tài)是液態(tài)還是氣態(tài)，還可以計算出當(dāng)前水的密度、粘度等參數(shù)。此時，壓力與溫度就構(gòu)成了當(dāng)前封閉容腔系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量。

那么，微分方程中狀態(tài)變量是如何表示的呢？

如果只考慮集中參數(shù)模型，不同領(lǐng)域工程物理系統(tǒng)的物理本構(gòu)通常由常微分方程（Ordinary Differentical Equations-ODE）描述，系統(tǒng)組件之間的約束一般用代數(shù)方程（Algebraic Equations）表示。

但是對于Modelica 語言，其面向?qū)ο蟮慕Ｌ攸c導(dǎo)致物理本構(gòu)體現(xiàn)在其組件的建模上，組件之間的約束以連接器的連接方式表現(xiàn)。此時，表達(dá)本構(gòu)模型的微分方程與連接轉(zhuǎn)化的代數(shù)方程之間耦合將形成一般形式的微分-代數(shù)方程 ( Differentical - AlgebraicEquations -DAE)。

一般來說，常微分方程組可以表示為以下形式：

$%5Cdot%7Bx%7D%3Df(t%2C%20x)$

由于因變量x的導(dǎo)數(shù)以獨立瞬態(tài)變量t和因變量x的形式顯式表示，此時將數(shù)組視為一組狀態(tài)變量，只要函數(shù)f具有足夠的連續(xù)性，總能找到初值問題的唯一解。

$f(t%2C%20x%2C%20%5Cdot%7Bx%7D%2C%20y)%3D0$

例如：

$%5Cbegin%7Barray%7D%0A%0A%5Cmid%20%5Cddot%7Bx%7D(t)%2By(t)%3D%5Ccos%20(t)%20%5C%5C%0A%0Ax(t)%3D%5Ccos%20(t)%0A%0A%5Cend%7Barray%7D$

對于微分-代數(shù)方程組，導(dǎo)數(shù)一般沒有顯式表示，甚至一些因變量的導(dǎo)數(shù)可能不出現(xiàn)在這些方程中。而在表達(dá)式中不顯式包含變量y的任何導(dǎo)數(shù)的變量，這些變量稱為代數(shù)變量。

在微分-代數(shù)方程組中，我們同樣選取x為狀態(tài)變量，但是與常微分方程組不同的是，微分代數(shù)方程組內(nèi)數(shù)組

$x%5Cleft%5Bx_%7B1%7D%2C%20x_%7B2%7D%2C%20%5Cldots%2C%20x_%7Bn%7D%5Cright%5D$ 的各分量之間可能存在隱式的約束關(guān)系，需要通過選擇數(shù)組的部分分量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。

總而言之，我們可以得出一條規(guī)律，狀態(tài)變量的一大特征是其對時間的導(dǎo)數(shù)已知。即：

$%7B%5Cdot%7Bx%7D%7D_n%3D%5Cfrac%7Bd%5Cleft(x%5Cright)%7D%7Bdt%7D%3Dy$

而對于Modelica語言，其實質(zhì)是解決微分-代數(shù)方程問題，在求解前需要對微分-方程系統(tǒng)的狀態(tài)變量進(jìn)行選擇。

三、如何通過狀態(tài)變量描述系統(tǒng)？

引言中我們提到了將系統(tǒng)看做一個黑盒模型，輸入變量經(jīng)過與黑盒的交互產(chǎn)生輸出。通過上述的狀態(tài)空間方法，我們可以推導(dǎo)其輸入、輸出與狀態(tài)變量之間的表達(dá)式。

下面我們以一個稍微復(fù)雜的電路系統(tǒng)為例，解釋由狀態(tài)變量推導(dǎo)動態(tài)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。

上圖所示為一線性時不變電路，設(shè)輸入為 $u_1$ ，輸出為 $u_2$ ，電阻為 $R_1%E3%80%81R_2$ ，電容為 $C_1%E3%80%81C_2$ 。

設(shè) $C_1$ 兩端電壓為 $u_%7BC_1%7D$ ， $C_2$ 兩端電壓為 $u_%7BC_2%7D$ ，則：

（2.1a）

$u_%7BC_1%7D%2BC_2%5Cfrac%7Bdu_%7BC_2%7D%7D%7Bdt%7DR_2%2Bu_%7BC_2%7D%3Du_1$

（2.1b）

$C_1%5Cfrac%7Bdu_%7BC_1%7D%7D%7Bdt%7D%2B%5Cfrac%7Bu_%7BC_1%7D%7D%7BR_1%7DR_2%3DC_2%5Cfrac%7Bdu_%7BC_2%7D%7D%7Bdt%7D$

選擇狀態(tài)變量 $x_1%3Du_%7BC_1%7D%E3%80%81x_2%3Du_%7BC_2%7D$ ，由式（2.1a）與式（2.1b）可得：

（2.2a）

$%5Cfrac%7Bdu_%7BC_1%7D%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cfrac%7BR_1%2BR_2C_1%7D%7BR_1R_2C_1%7Du_%7BC_1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2C_1%7Du_%7BC_2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2C_1%7Du_1$

（2.2b）

$%5Cfrac%7Bdu_%7BC_2%7D%7D%7Bdt%7D%3D-%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2C_2%7Du_%7BC_1%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2C_2%7Du_%7BC_2%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7BR_2C_2%7Du_1$

將上式轉(zhuǎn)化為矩陣形式：

（2.3a）

$%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%0A%5Cdot%7Bx%7D_%7B1%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cdot%7Bx%7D_%7B2%7D%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bcc%7D%0A%0A-%5Cfrac%7BR_%7B1%7D%2BR_%7B2%7D%20C_%7B1%7D%7D%7BR_%7B1%7D%20R_%7B2%7D%20C_%7B1%7D%7D%20%26%20%5Cfrac%7B1%7D%7BR_%7B2%7D%20C_%7B2%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A-%5Cfrac%7B1%7D%7BR_%7B2%7D%20C_%7B1%7D%7D%20%26%20-%5Cfrac%7B1%7D%7BR_%7B2%7D%20C_%7B2%7D%7D%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%0Ax_%7B1%7D%20%5C%5C%0A%0Ax_%7B2%7D%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%2B%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%0A%5Cfrac%7B1%7D%7BR_%7B2%7D%20C_%7B1%7D%7D%20%5C%5C%0A%0A%5Cfrac%7B1%7D%7BR_%7B2%7D%20C_%7B2%7D%7D%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%20u_%7B1%7D$

（2.3b）

$y%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bll%7D%0A%0A-1%20%26%200%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%0A%0Ax_%7B1%7D%20%5C%5C%0A%0Ax_%7B2%7D%0A%0A%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%2Bu_%7B1%7D$

由式（2.3a）、（2.3b）中我們可以看出，在系統(tǒng)狀態(tài)空間分析中涉及三種類型的變量，即輸入變量 $u_1$ 、狀態(tài)變量 $x_1$ 與 $x_2$ 、系統(tǒng)輸出量y。

對于更為一般的多輸入多輸出的系統(tǒng)狀態(tài)方程，有興趣的讀者可以參考《現(xiàn)代控制工程》，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：

（2.4a）

$%5Cdot%7Bx%7D%5Cleft(t%5Cright)%3DA%5Cleft(t%5Cright)x%5Cleft(t%5Cright)%2BB%5Cleft(t%5Cright)u%5Cleft(t%5Cright)$

（2.4b）

$y%5Cleft(t%5Cright)%3DC%5Cleft(t%5Cright)x%5Cleft(t%5Cright)%2BD%5Cleft(t%5Cright)u%5Cleft(t%5Cright)$

式中： $A(t)$ 為狀態(tài)矩陣， $B(t)$ 為輸入矩陣， $C(t)$ 輸出矩陣， $D(t)$ 為直接傳輸矩陣。不難發(fā)現(xiàn)，此時式（2.3a）、（2.3b）與式（2.4a）、（2.4b）具有相同的形式，即上述電路為線性定常系統(tǒng)單輸入、單輸出兩個狀態(tài)變量的狀態(tài)空間方程實例。

四、如何選擇合適的狀態(tài)變量？

對于一個實際系統(tǒng)來說，狀態(tài)變量的選取方式并不唯一。比如上文提到的燒水過程，我們可以選擇水的壓力、溫度作為一組狀態(tài)變量，也可以選擇水的壓力、密度作為一組狀態(tài)變量。在Modelica建模過程中，一方面系統(tǒng)會自動選擇狀態(tài)變量，另一方面我們可以手動干預(yù)狀態(tài)變量的選擇，合適的狀態(tài)變量選擇有利于系統(tǒng)的求解。

狀態(tài)變量設(shè)置代碼方法為stateSelect=StateSelect.xxx。stateSelect是實型變量的一個內(nèi)置屬性，用于控制狀態(tài)變量的選取，其值有如下5種形式：

從always到never，對應(yīng)變量被選作狀態(tài)變量的優(yōu)先級依次降低。即在指標(biāo)約簡之后模型的所有微分變量中，總是選取stateSelect屬性值為always的變量作為狀態(tài)變量，總是不選stateSelect屬性值為never的變量作為狀態(tài)變量，在prefer、default與avoid中，根據(jù)需要從prefer到avoid依次選取。下面我們以兩個案例說明狀態(tài)變量選取的方式：

案例1：

在以上示例中，變量y的stateSelect值為缺省值，即為StateSelect.default，而變量x的stateSelect值為StateSelect.prefer。x與y均作為微分變量出現(xiàn)，且存在關(guān)于二者的代數(shù)方程x =y。方程x = y在指標(biāo)約簡過程中將求一次導(dǎo)數(shù)，最終在x與y中只有一個變量作為狀態(tài)變量。由于x的stateSelect值的優(yōu)先級高于y，故最終x被選作狀態(tài)變量。

案例2：

為了讓x作為狀態(tài)變量，將對下列方程求導(dǎo)，使得x的導(dǎo)數(shù)顯式出現(xiàn)

$x%5C%20%3D%5C%20y%2B0.5%E6%B1%82%E5%AF%BCder(x)%20%3D%20der(y)$

此時y因其導(dǎo)數(shù)不再出現(xiàn)，而成為代數(shù)變量。

由此可見，將一個代數(shù)方程約束的兩個變量的stateSelect屬性值均設(shè)置為always是錯誤的。此外，default與avoid對代數(shù)變量而言等同于never，即使在編譯過程中可能引入其導(dǎo)數(shù)，也不會將其選作狀態(tài)變量。

五、建模方法如何影響狀態(tài)變量？

前面我們已經(jīng)引入了狀態(tài)變量、狀態(tài)空間并且以線性時不變的電路系統(tǒng)為例導(dǎo)出了一般情況下狀態(tài)空間表達(dá)式。下面我們就以一個簡單的機(jī)械系統(tǒng)為例說明不同的建模方式是如何影響狀態(tài)變量的選取。

以一個單擺的笛卡爾坐標(biāo)運動方程為例，其運動學(xué)方程可以寫出如下形式：

（3.1a）

$m%5Cddot%7Bx%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7BL%7DF$

（3.1b）

$m%5Cddot%7By%7D%3D-%5Cfrac%7By%7D%7BL%7DF-mg$

（3.1c）

$x%5E2%2By%5E2%3DL%5E2$

式中m為小球質(zhì)量，x為水平方向位移，y為豎直方向位移，L為繩長，g為重力加速度， $%5Cddot%7Bx%7D$ 為x的二階導(dǎo)數(shù)，物理含義為小球在水平方向上的加速度， $%5Cddot%7By%7D$ 與之同理。

上述式（3.1a）至式（3.1c）形成了一個典型的隱式微分代數(shù)方程系統(tǒng)（Implict-DAE），為了正確求解我們需要將上述方程轉(zhuǎn)化為顯式常微分方程（Explicit-ODE），步驟如下：

首先我們需要對式（3.1c）進(jìn)行兩次求導(dǎo)，才能顯式地暴露變量 $%20%5Cddot%7Bx%7D$ 與 $%20%5Cddot%7By%7D$ 的約束關(guān)系，但是與此同時又增加了 $%5Cddot%7Bx%7D$ 與 $%20%5Cddot%7By%7D$ 的約束方程：

（3.2a）

$2x%5Cdot%7Bx%7D%2B2y%5Cdot%7By%7D%3D0$

（3.2b）

$2x%5Cddot%7Bx%7D%2B2%7B%5Cdot%7Bx%7D%7D%5E2%2B2y%5Cddot%7By%7D%2B2%7B%5Cdot%7By%7D%7D%5E2%3D0$

此時為了避免模型求解時雅克比矩陣奇異，狀態(tài)變量在選擇時需要進(jìn)行動態(tài)切換，即當(dāng)x為0時，我們就必須選取y為狀態(tài)變量，如果y=0時，則必須選取x為狀態(tài)變量。

狀態(tài)變量的動態(tài)切換問題是一個組合問題，如果狀態(tài)變量的排列組合數(shù)目很大，從而使雅克比矩陣奇異檢測條件非常復(fù)雜，此時就會拖慢求解器的求解效率。

應(yīng)用MWORKS.Sysplorer，我們將上述物理模型利用Modelica語言表達(dá)形成如下代碼：

打開“仿真設(shè)置-調(diào)試-動態(tài)狀態(tài)變量”選擇并啟動仿真，我們可以在輸出欄中發(fā)現(xiàn)求解器一直在進(jìn)行狀態(tài)變量的切換，仿真10s的時間為0.02s。

假如我們將單擺運動的運動方程做一些改變，引入轉(zhuǎn)角變量，重新建立單擺運動方程：

（3.3a）

$m%5Cddot%7Bx%7D%3D-Fsin%7B%5Ctheta%7D$

（3.3b）

$m%5Cddot%7By%7D%3DFcos%7B%5Ctheta%7D-mg$

（3.3c）

$%5Cmathrm%7Bx%3D%7DLsin%7B%5Ctheta%7D$

（3.3d）

$y%3D-Lcos%7B%5Ctheta%7D$

與上述方程同理，對式（3.3c）、式（3.3d）進(jìn)行求導(dǎo)：

$%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7D%0A%0A%5Cdot%7Bx%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20L%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%0A%5Cdot%7By%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20L%20%5Csin%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%0A%5Cddot%7Bx%7D%3D-%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E%7B2%7D%20L%20%5Csin%20%5Ctheta%2B%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20L%20%5Ccos%20%5Ctheta%20%5C%5C%0A%0A%5Cddot%7By%7D%3D%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E%7B2%7D%20L%20%5Ccos%20%5Ctheta%2B%5Cddot%7B%5Ctheta%7D%20L%20%5Csin%20%5Ctheta%0A%0A%5Cend%7Barray%7D$

通過引入轉(zhuǎn)角變量，其自動被選為狀態(tài)變量，原來的x和y不再被選為狀態(tài)變量，使得系統(tǒng)動態(tài)自由度為零，避免由于動態(tài)狀態(tài)變量選擇導(dǎo)致的計算效率下降。

應(yīng)用MWORKS.Sysplorer，我們將上述物理模型利用Modelica語言表達(dá)形成如下代碼：

輸出窗口中，動態(tài)狀態(tài)變量切換已經(jīng)消失，仿真時間也由0.02s縮短至0.004s，仿真效率提高了5倍！

六、?狀態(tài)變量初始化

在狀態(tài)空間表達(dá)式中，我們已知了狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，為了避免差分法對于小時間步長的局限性，因此利用積分方法對于狀態(tài)變量進(jìn)行求解。為了簡單的說明求解原理，本文只以顯式歐拉法表示，即：

$x_%7Bn%2B1%7D%3D%5Cmathrm%7B%5CDelta%20%7Dt%C2%B7x_%7Bn%2B1%7D%2Bx_%7Bn%7D$

式中： $x_%7Bn%7D$ 為第n步計算所得狀態(tài)變量， $%5CDelta%20t$ 依賴于時間步長和特定積分方法使用的常數(shù)。因此狀態(tài)變量的求解依賴于求解器內(nèi)置的積分器。

狀態(tài)變量在積分求解時，一方面依賴于其導(dǎo)數(shù)值，另一方面狀態(tài)變量初始值也同樣重要，初始值不同會導(dǎo)致同一Modelica模型的計算結(jié)果不同，甚至導(dǎo)致其求解失敗。

Modelica語言中初始化方式有兩種，分別為初始值初始化與穩(wěn)態(tài)初始化：

a) 初始值初始化：直接為狀態(tài)變量設(shè)定初始值。

上式狀態(tài)變量x的初始值就即為1。如果用戶沒有為某個變量設(shè)定初始值屬性，那么該變量的初始值被缺省地設(shè)置為0。

b) 穩(wěn)態(tài)初始化：為變量的導(dǎo)數(shù)設(shè)定初始值，例如：

根據(jù)上述初始條件可以求得x的初始值為：

$x%3D%5Cleft(der%5Cleft(x%5Cright)%2B1%5Cright)%2F2%3D0.5$

在大型Modelica模型系統(tǒng)狀態(tài)變量初始化時，使用不同的初始化方式會對計算結(jié)果產(chǎn)生不同影響。

對于初始化過程計算速度而言，穩(wěn)態(tài)初始化的計算速度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)慢于初始值初始化的計算速度。這是因為初始值初始化直接為變量賦值，而穩(wěn)態(tài)初始化過程還需要通過變量的導(dǎo)數(shù)以及非線性方程組求解變量的值。
對于初始化后計算結(jié)果的穩(wěn)定性而言，穩(wěn)態(tài)初始化的效果要遠(yuǎn)好于初始值初始化。這是由于穩(wěn)態(tài)初始化時，狀態(tài)變量的值根據(jù)其導(dǎo)數(shù)為零時求得。此時系統(tǒng)中的狀態(tài)變量更加接近于系統(tǒng)穩(wěn)定時狀態(tài)變量的值。

七、總結(jié)

本文是一篇Modelica建模秘籍，在最后小編給大家總結(jié)了此篇秘籍的口訣心法，請記牢：

1.設(shè)置狀態(tài)變量選取，盡量選擇數(shù)量級較大且接近同時變化較小的參數(shù)。熱流系統(tǒng)中，一般情況下我們選擇壓力、比焓的組合會好于選擇溫度、密度的狀態(tài)變量組合；而在機(jī)械系統(tǒng)中我們通常選擇相對位移（運動副）作為狀態(tài)變量。

2.減少系統(tǒng)狀態(tài)變量自由度，避免狀態(tài)變量的切換。

3.明確狀態(tài)變量初始值。

4.將非線性量選作狀態(tài)變量可以有效降低模型系統(tǒng)代數(shù)環(huán)大小。

狀態(tài)變量是動態(tài)系統(tǒng)建模的重中之重，關(guān)系著系統(tǒng)能否正常求解以及求解的效率，小編希望大家看完這篇秘籍，可以成為Modelica建模的高手高高手！

參考材料

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2.周凡利.工程系統(tǒng)多領(lǐng)域統(tǒng)一模型編譯映射與仿真求解研究[D].華中科技大學(xué),2011.

3.丁建完.陳述式仿真模型相容性分析與約簡方法研究[D].華中科技大學(xué),2006.

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技術(shù)干貨 | Modelica建模秘籍之狀態(tài)變量

一、什么是動態(tài)系統(tǒng)？