1. 高斯濾波原理

高斯濾波器的本質(zhì)是一個二維低通系統(tǒng)，它通常是以一個矩陣的形式出現(xiàn)，比如式（1）這個5×5高斯核（又稱為kernel），用它對圖像做卷積，圖像的高頻分量會被打到低頻，最終呈現(xiàn)的效果就是圖像變模糊了。

生成它的是一個以e為底的指數(shù)函數(shù)，通常用exp來標識，如（2）所示：

公式（2）就是常見的二維高斯函數(shù)，它是一個和距離有關(guān)的函數(shù)，以5×5的窗口大小為例，中心點作為坐標原點，x和y分別代表橫縱坐標，其坐標如下圖1（a）所示，x2+y2是當前坐標到圓心的歐式距離（高斯核的旋轉(zhuǎn)對稱性由此而來），x2+y2的結(jié)果如下圖1（b）所示，離中心點越遠，x2+y2的值越大。

0<1/e<1，所以f(x,y)是個單調(diào)減函數(shù)，那么x2+y2的值越大，求出的值就會越小，所以高斯核呈現(xiàn)出中心點權(quán)重最大，依次向四周遞減的形狀。

公式里還有一個變量σ（方差），方差的物理意義是描述一組數(shù)據(jù)的分散程度，方差越小，數(shù)據(jù)就越聚攏；方差越大，數(shù)據(jù)就越分散。對高斯公式來說，σ越小，窗口內(nèi)權(quán)重越聚攏，得到的圖像就越清晰；σ越大，窗口內(nèi)權(quán)重越分散，得到的圖像就越模糊?？梢該Q個角度來理解它，如果窗口內(nèi)的能量值固定為1，分配的越集中，每個位置能分到的能量就越多，高斯的波峰就會越高；分配的越分散，每個位置能分到的能量就越少，高斯的波峰就會越低，所以高斯的極限情況就是均值，所有的位置分配到了相同的能量。

為了進一步觀察窗口大小和σ之間的關(guān)系，用matlab寫一段代碼做個實驗，分別配置不同的窗口大小win_m、win_n和sigma，顯示出16個gauss kernel的三維分布圖，如圖2所示：

圖2有一個需要注意的地方，以sigma=1這列的三維圖為例，直觀感受會覺得窗口越小，高斯權(quán)重越分散，窗口越大，高斯權(quán)重越集中，好像在sigma一樣的情況下，5×5窗口對圖像的模糊力度似乎要比17×17的更佳？其實不是的，這里要注意三維圖的坐標，把sigma=1時5×5和17×17的三維圖單獨放大一下，如下圖3所示，右圖的17×17其實也只顯示了5×5的范圍，超過5×5的部分差不多被抑制為0了，所以理論上這兩個窗口的模糊力度應(yīng)該差不多。

再看一下sigma=10的情況，同樣是5×5和17×17的對比，把圖放大如下圖4所示，這個就更明顯了，直觀上好像5×5比17×17更分散，但是看坐標軸就能發(fā)現(xiàn)，17×17的范圍顯然更大，而且z軸顯示出的歸一化權(quán)重也說明了這個問題，和5×5相比，17×17的權(quán)重更小一些，在窗口能量為1的情況下，窗口越大，每個位置能分到的能量也就越少，所以17×17的波峰要比5×5低。

從以上的分析可以看出，如果選擇了一個較大的窗口，要把sigma配置的大一些，才能發(fā)揮出大窗口的模糊效果，而且大窗口相對小窗口的調(diào)試范圍更大，可以滿足多種需求。

2. 圖像處理效果與對比

更進一步的，用以上16個kernel分別對下面的Lena圖進行高斯濾波（代碼在附錄中，需要可自行下載），做個濾波效果的對比。從圖5上看，sigma=10且窗口17×17的模糊效果最好；sigma=1時，受sigma分散度的限制，即使是大一些的窗口，也沒能發(fā)揮出更模糊的濾波效果，這很符合上面對高斯公式的分析。由此也能看出，如果對kernel的性質(zhì)掌握的足夠，是可以通過配置直接判斷圖像處理效果的。

進一步解釋圖像高斯濾波，其本質(zhì)是圖像和高斯核的二維卷積，以5×5高斯核為例，按照從上到下從左到右的順序，每次取圖像中一個5×5的窗口數(shù)據(jù)與高斯核進行卷積（乘加計算），得到的最終結(jié)果就是當前中心點的高斯濾波結(jié)果。圖像四周的邊界上會存在缺數(shù)據(jù)的情況，一般的做法是復(fù)制最邊界的圖像，如果窗口是5×5，那就是圖像的上下左右邊界各擴邊2次。

高斯核給中心點像素分配最大權(quán)重，周圍的權(quán)重離中心點的距離越遠其值越小，對于圖像細節(jié)來說，可以更好的被保留下來，而不是像均值濾波那樣被一視同仁的全部抹平。另外，高斯卷積核是實現(xiàn)尺度變換的唯一變換核，并且是唯一的線性核，這個后面如果有需要可以拿出來再詳細解釋一下。

3. 高斯kernel定點化

用公式（2）生成的5×5高斯核是一堆浮點數(shù)據(jù)，假設(shè)生成的高斯kernel如式（4）所示（已歸一化）。

但是硬件是不能直接處理浮點數(shù)據(jù)的，需要對式（4）做個定點化，也就是給它乘以一個整數(shù)，然后四舍五入取整。為了保證輸出圖像和輸入圖像的位寬一致，最后這個乘進來的整數(shù)是要在濾波后除掉的（歸一化），所以這個整數(shù)取2的n次方最合適，此時濾波后只要對結(jié)果右移n位就可以了。選擇n=8，也就是2^8=256對gaus_kernel做定點，就可以得到式（1）的結(jié)果。

另外二維高斯核還能拆成兩個一維高斯核相乘的樣子，如式（5）所示，這是個非常優(yōu)良的性質(zhì)，在RTL硬件實現(xiàn)的時候可以節(jié)省功耗和面積，先寫在這里，后面再詳細介紹。

附錄：