? 拓撲斯（topos）理論是當代數(shù)學的基礎性領域，可以視為范疇論深化發(fā)展。一般所談的拓撲斯，可能有兩種解釋，一種是Grothendieck拓撲斯，另一種是初等拓撲斯。Grothendieck拓撲斯是范疇上層的等價類，它可以視為初等拓撲斯的實例（見【2】），下面我們主要介紹初等拓撲斯。

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??初等拓撲斯指有子對象分類（subobject classifier）的Cartesian閉范疇。為了理解這個定義，我們要介紹一些范疇理論的知識。

??給定范疇C兩個對象A與B，B通過A的指數(shù)指對象B^A與態(tài)射ev：B^A×A→B，使得對任何態(tài)射g：C×A→B，唯一存在態(tài)射g：C→B^A，使得g = ev ·（g×id_A）. 在集合范疇中，B^A就是所有映射A→B的集，ev（f，a）= f（a）是賦值。實際上，就是要求伴隨關系：-×A ┤（-）^A，有自然同構(gòu)：Hom（C×A，B）= Hom（C，B^A）.

??Cartesian閉范疇指存在所有有限積且任何兩個對象都有指數(shù)的范疇。集合范疇Set是Cartesian閉范疇，但拓撲空間范疇Top不是Cartesian閉范疇。事實上，伴隨函子有個基本性質(zhì)：若F┤G，則F保持上極限且G保持極限。因此，對于Cartesian閉范疇，函子-×A左伴隨應該保持上等值子，進而保持商關系，但一般情況下，這里的積不保持商拓撲，這就是說明Top不是Cartesian閉范疇。

??范疇C的始對象0指對任何C的對象A，存在唯一箭頭？：0→A；其終對象1指對任何C的對象A，存在唯一箭頭?。篈→1. 需要強調(diào)對象時，就引入下標!_A：A→1. 在集合范疇中，始對象就是空集?，而終對象是單點集{*}. 在群范疇中，平凡群{0}既是始對象又是終對象。

??對范疇C內(nèi)的任何對象A，定義其子對象為C內(nèi)的單射S→A. 范疇C的子對象分類指對象Ω與整體元素t：1→Ω，滿足對任何單射m：S→A，存在唯一箭頭χ_m：A→Ω，使得：χ_m·m = t·！，其中?。篠→1（如圖），這里χ_m一般稱為m的特征映射。

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??在集合范疇Set中，我們?nèi)ˇ?{0,1}，子集對應的特征映射就是它的特征函數(shù)。對于Ω包含兩個元素的情況，我們通常會把它解釋為真值與假值，此時的拓撲斯稱為二值拓撲斯。

??若范疇C有子對象分類Ω，則任何對象A的子對象類：

??????Sub（A）= Hom（A，Ω）

它由m∈Sub（A）到χ_m：A→Ω誘導。

??對象A的冪對象P（A）定義為對象Ω^A，由Cartesian閉范疇的定義可得，拓撲斯內(nèi)一定存在冪對象。

??拓撲斯內(nèi)的箭頭是同構(gòu) iff 它既是單態(tài)射又是滿態(tài)射。事實上，任何單射m：S→B都可以視為真值映射t_B = t·!_B與特征映射χ_m的等值子，若m同時還是滿射，就有t_B = χ_m，故m其為同構(gòu)。

??我們還有：拓撲斯內(nèi)任何箭頭f都有唯一分解f=me，其中m是單態(tài)射且e是滿態(tài)射。

??下面是一些常見的拓撲斯例子：

??1）集合范疇Set是拓撲斯。

??2）對任何范疇C，Set^(C^op)是其上是預層拓撲斯。

??3）拓撲斯范疇的任何切片范疇（slice category）是拓撲斯。

???

??接下來，我們簡單看一下拓撲斯的邏輯，我們可以引入：

??1）真值映射t：1→Ω為1→1的特征映射。

??2）假值映射fa：1→Ω為0→1的特征映射。

??3）酉算子~：Ω→Ω為fa：1→Ω的特征映射。

??在此基礎上，可以定義格L為配備二元連接詞 ∧與∨滿足：對其任意x，y，z∈L，

????x∧x = x = x∧t

????x∧y = y∧x

????（x∧y）∧z = x∧（y∧z）

????x∧（x∨y）= x

與其對偶關系。格L是分配的，若它還滿足：

????x∧（y∨z）=（x∧y）∨（x∧z）

???我們還可以定義Heyting代數(shù)為添加了二元算子→的格L，滿足條件：對任何x，y，z∈L，

????（x∧y）≤ z iff x ≤（y→z）

???Bool代數(shù)定義為帶酉算子~的分配格L，滿足對任何x∈L，

????x∧（~x）= fa，x∨（~x）= t

??在Bool代數(shù)中，若定義：

????x→y = （~x）∨ y

則它構(gòu)成Heyting代數(shù)。

??Heyting代數(shù)是Bool代數(shù) iff 它滿足：對任何元素x，x∨（~x）= t且~~x=x.

??拓撲斯中的子對象分類構(gòu)成Heyting代數(shù)，因此它對應著拓撲斯的邏輯，實際上就是所謂的直覺邏輯。

??設E是拓撲斯，則下列條件等價：

??1）Ω是Bool代數(shù)

??2）~~=1_Ω.

??3）Ω內(nèi)所有子對象有補

??4）（t，fa）：1∪1→Ω是同構(gòu)

??若這些條件成立，則稱Ω是Bool拓撲斯。

??我們可以把上述結(jié)構(gòu)概括為（來自【5】）：經(jīng)典邏輯/直覺邏輯 = Bool代數(shù)/Heyting代數(shù)。

??考察一下集合拓撲斯Set，其中可以定義元素為范疇的整體對象c：1→A，它還滿足下列公理條件：

??1）良點性（或1生成性）：對任何箭頭f，g：A→B，若f≠g，則存在某c：1→A，使得f·c ≠ g·c.

??2）非平凡性：1≠?.

??3）無限性：存在自然數(shù)對象N.

??在良點拓撲斯中，我們有很多良好的性質(zhì)：

??1）1的唯一子對象是1或者0。

??2）任何（范疇意義上的）單態(tài)射（或滿態(tài)射）都等價于單射（或滿射）。

??3）良點拓撲斯是Bool的，也是二值的。

??Set是良點拓撲斯，因此是Bool拓撲斯，也是二值拓撲斯；指數(shù)范疇Set^2是Bool拓撲斯，但不是二值拓撲斯；箭頭范疇Set^→既不是Bool拓撲斯，又不是二值拓撲斯。

??拓撲斯E滿足選擇公理，若其任何滿態(tài)射都是可裂的。我們有下列綜合性結(jié)論（見【6】），拓撲斯E是良點的 iff E是Bool的，二值的且滿足選擇公理。

??拓撲斯中的自然數(shù)對象指帶有整體元素0:1→N與后繼箭頭s：N→N的對象N，，滿足對任何有元素q：1→A與箭頭f：A→A的對象A，存在唯一箭頭u：N→A，使得u·0=q且u·s = f·u. （請讀者畫圖）

??實際上，這就是數(shù)學歸納法的基本形式：

????├ u（0）= q，u（sy）= f（u（y）），y∈N

??在此基礎上，我們可以定義數(shù)學中的常見運算，比如加法、乘法、序關系等等。

??擴展閱讀：?

??【1】McLarty C. Elementary categories, elementary toposes[M]. Clarendon Press, 1992. （自帶范疇論基礎的拓撲斯入門書，內(nèi)容比較精粹，本文主要參考書）

??【2】Johnstone P T. Topos theory[M]. Courier Corporation, 2014. （拓撲斯理論的經(jīng)典參考書，同作者還有一本更厚的拓撲斯大象）

??【3】MacLane S, Moerdijk I. Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory[M]. Springer Science & Business Media, 2012. （早期的拓撲斯理論參考書，涉及很多邏輯與幾何應用）

??【4】HENDERSON C. ELEMENTARY TOPOI: SETS, GENERALIZED[J]. 2009. （自帶范疇基礎的初等拓撲斯理論小結(jié)）

??【5】Kostecki R P. An Introduction to Topos Theory[J]. Technial Report, 2011.（draft） （來自物理系的拓撲斯理論小結(jié)）

??【6】Pettigrew R. An introduction to toposes[J]. Department of Philosophy, University of Bristol www. mcmp. philosophie. uni-muenchen. de/students/math/toposes. pdf, 2008. （來自哲學系的拓撲斯理論小結(jié)）

??【7】賀偉, 范疇論[M]. 科學出版社, 2006. （中文范疇入門書，拓撲斯理論的預備知識）