【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學(xué)叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學(xué)叢書編委會(huì)”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學(xué)教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當(dāng)于如今的初高中水平，其最大特點(diǎn)就是可用于“自學(xué)”。當(dāng)然由于本書是大半個(gè)世紀(jì)前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學(xué)生直接拿來自學(xué)。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實(shí)的學(xué)酥重新自修以查漏補(bǔ)缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語(yǔ)】我在原有“自學(xué)叢書”系列17冊(cè)的基礎(chǔ)上又添加了1冊(cè)八五人教甲種本《微積分初步》，原因有二：一則，我是雙魚座，有一定程度的偶雙癥，但“自學(xué)叢書”系列中代數(shù)4冊(cè)、幾何5冊(cè)實(shí)在令我刺撓，因此就需要加入一本代數(shù)，使兩邊能夠?qū)ε计胶?；二則，我認(rèn)為《微積分初步》這本書對(duì)“準(zhǔn)大學(xué)生”很重要，以我的慘痛教訓(xùn)為例，大一高數(shù)第一堂課，我是直接蒙圈，學(xué)了個(gè)寂寞。另外大學(xué)物理的前置條件是必須有基礎(chǔ)微積分知識(shí)，因此我所讀院校的大學(xué)物理課是推遲開課；而比較生猛的大學(xué)則是直接開課，然后在緒論課中猛灌基礎(chǔ)高數(shù)（例如田光善舒幼生老師的力學(xué)課）。我選擇在“自學(xué)叢書”17本的基礎(chǔ)上添加這本《微積分初步》，就是希望小伙伴升大學(xué)前可以看看，不至于像我當(dāng)年那樣被高數(shù)打了個(gè)措手不及。

第一章一元一次方程和可以化為一元一次方程的分式方程??

§1-7分式方程

1、分式方程的意義

【01】我們來看下面這個(gè)問題：某人民公社生產(chǎn)隊(duì)收割全部夏收作物，共需要 12 天。由于學(xué)生下鄉(xiāng)參加夏收，和社員一起勞動(dòng)，結(jié)果只用了 8 天全部收割完畢。問學(xué)生單獨(dú)去完成這項(xiàng)夏收任務(wù)需要幾天？

【02】設(shè)學(xué)生單獨(dú)勞動(dòng)需要 x 天才能完成，那末每天能完成全部任務(wù)的 1/x? 。

【03】社員單獨(dú)勞動(dòng)需要 12 天，所以每天能完成任務(wù)的 1/12? 。

【04】現(xiàn)在學(xué)生和社員一起勞動(dòng)只需 8 天，所以每天能完成任務(wù)的是 1/8? 。

【05】根據(jù)題意，可以列出方程：? 。

【06】這個(gè)方程，分母中含有未知數(shù)，和我們前面所學(xué)過的方程不同。

【07】分母中合有未知數(shù)的方程，叫做分式方程，例如，，， 等都是分式方程。

2、可以化為一元一次方程來解的分式方程的解法

【08】有些分式方程，只要把方程的兩邊都乘以同一個(gè)含有未知數(shù)的整式，就能變形成為一個(gè)一元一次方程，然后解這個(gè)一元一次方程，就可以找到原來分式方程的解。下面我們舉例來說明。

例1.解上面問題中的方程：? 。

【解】因?yàn)楦鞣质降淖詈?jiǎn)公分母是 24x，所以方程兩邊都乘以 24x，使它變形成為整式方程，得 24＋2x＝3x? 。

????????解這個(gè)整式方程，－x＝－24，∴ x＝24? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝24 代入原方程：，∴ x＝24 是原方程的根。

【說明】檢驗(yàn)時(shí)，必須把求得的 x 的值代入原分式方程，不能代入變形后所得的整式方程。

例2.解下列方程：? 。

【解】方程兩邊都乘以 (x－1)(x＋3)，得 5(x＋3)＝x－1? 。

????????解這個(gè)方程，5x＋15＝x－1，4x＝－16，∴ x＝－4? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝－4 代入原方程：? ∵? 左邊＝右邊，∴ x＝－4 是原方程的根。

習(xí)題1-7(1)

解下列各方程：

【1、1又3/5，2、3/5，3、5，4、－3,5、5，6、10，7、－4，8、2，9、1，10、1】

例3.解下列方程：

【解】

(1) 方程兩邊都乘以 x－3，得 1＋2(x－3)＝7－x? 。

????????解這個(gè)方程，3x＝12，∴ x＝4? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝4 代入原方程：? ?！?左邊＝右邊，∴ x＝4是原方程的根。

(2) 方程兩邊都乘以 x－3，得 1＋2(x－3)＝4－x? 。

????????解這個(gè)方程，得 x＝3? 。

????????如果把 x＝3 代入原方程，分式 1/(x－3) 和 (4－x)/(x－3) 的分母都等于零，這些分式就沒有意義，所以?x＝3?不是原方程的根，也就是說，原方程沒有根。

【09】這是怎么一回事呢？難道我們的解法有錯(cuò)誤嗎？不，解法沒有錯(cuò)誤。下面就來研究這個(gè)問題。

【10】我們把 (1)、(2) 兩題來對(duì)比一下，在第(1)題中，把 x＝4 代入變形后的方程 1＋2(x－3)＝7－x，兩邊是相等的；把 x＝4 代入原方程中，兩邊也是相等的。因此，x＝4 既是原方程的根，也是變形后的方程的根。但是在第 (2) 題中，把 x＝3 代入變形后的方程 1＋2(x－3)＝4－x，兩邊是相等的，所以 x＝3 是變形后的方程的根。而把 x＝3 代入原方程，分式就沒有意義，所以 x＝3 不是原方程的根。這個(gè)事實(shí)告訴我們，方程的兩邊都乘以同一個(gè)含有未知數(shù)的整式，有時(shí)所得的整式方程的根就是原方程的根，而有時(shí)所得的根卻不是原方程的根。

【11】這種解變形后的方程得出來的不適合于原方程的根，叫做增根。

【12】為什么會(huì)產(chǎn)生增根呢？先來看第(1)題。在去分母的時(shí)候，我們是用整式 x－3 去乘原方程的兩邊。因?yàn)樵?x＝4 的時(shí)候，整式 x－3 不等于零，也就是說，我們只是用不等于零的同一個(gè)數(shù)去乘方程的兩邊，根據(jù)方程的第二個(gè)基本性質(zhì)，所得的方程和原方程是同解方程，所以所得的方程的根和原方程的根完全一樣。但是，在第(2)題中，我們用來乘原方程兩邊的，雖然也是整式如 x－3，但由于當(dāng) x＝3 時(shí)，x－3＝0，所以實(shí)際上是用 0 去乘原方程的兩邊，因此，變形后的方程和原方程的根就不一樣。x－3 只是變形后的方程的根，不是原方程的根，這樣就產(chǎn)生了增根。

【13】從上面所說的，我們可以看到：

【14】如果方程的兩邊都乘以同一個(gè)整式，就可能產(chǎn)生增根。

【15】因此，在解分式方程的時(shí)候，我們必須把解變形后的方程所得的根代入原方程，進(jìn)行檢驗(yàn)。如果適合的，才是原方程的根；如果不適合的，就是增根，應(yīng)該把它去掉。

【16】從上面所說的可以知道，凡是把求得的根代入原方程時(shí)，使分式的分母等于零的，這個(gè)根就是增根。因此，檢驗(yàn)時(shí)為了簡(jiǎn)便起見，也可以把求得的根代入方程兩邊所乘的整式中去檢驗(yàn)：只要在解的過程中不發(fā)生錯(cuò)誤，那末如果它的值不是零，所得的根，就是原方程的根；如果它的值等于零，所得的根，就是增根。

例4.解方程：? 。

【解】因?yàn)楦鞣质降淖詈?jiǎn)公分母是 1－x2，所以方程的兩邊都乘以 1－x2，得 1＝3(1＋x)－5(1－x)? 。

????????解這個(gè)方程，1＝3＋3x－5＋5x，－8x＝－3，∴ x＝3/8? 。

????????因?yàn)榘?x＝3/8 代入整式?1－x2，所得的做不等于零，所以?x＝3/8?是原方程的根。

【17】從上面三個(gè)例子可以得到解分式方程的一般步驟：

????????(ⅰ) 用一個(gè)適當(dāng)?shù)恼剑ㄍǔＨ「鞣质降淖詈?jiǎn)公分母）乘方程的兩邊，使它變形成為一個(gè)整式方程。

????????(ⅱ) 解所得的整式方程。

????????(ⅲ) 把所求得的根進(jìn)行檢驗(yàn)。如果適合的，就是原方程的根；如果不適合，就是增根，應(yīng)該去掉。

例5.解方程：? 。

【解】?jī)蛇叾汲艘苑质降淖詈?jiǎn)公分母 x(x－1)，得 3(x－1)＋6x－(x＋5)＝0? 。

????????解這個(gè)整式方程，8x－8＝0，∴ x＝1? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝1 代入 x(x－1)，它的值等于 0，所以 x＝1 不是原方程的根。

????????∴ 原方程沒有根。

例6.解方程? 。

【解】?jī)蛇叾汲艘?x－3，得 x－3＋5＝x＋4，就是 0·x＝2? 。

????????因?yàn)椴徽?x 是任何值，都不能使方程 0·x＝2 成立，所以原方程沒有根。

習(xí)題1-7(2)

解下列各方程(1~11)：

[提示：第4題到第11題中，先要把分母分解因式，再求出分式的最簡(jiǎn)公分母。如第11題中，x3－x2－x＋1＝x2(x－1)－(x－1)＝(x－1)(x2－1)＝(x－1)2(x＋1).。

【1、無解，2、無解，3、無解，4、1又5/7，5、－1，6、－3，7、－3/7，8、8，9、5/6，10、2，11、1又1/2】

12、

(1) x 是什么數(shù)值時(shí)，代數(shù)式的值是零；【－1/2】

(2) x 是什么數(shù)值時(shí)，代數(shù)式和的值相等?！?】

3、含有字母系數(shù)的分式方程的解法

【18】解含有字母系數(shù)的分式方程的步驟和解數(shù)字系數(shù)的分式方程的步驟一樣，但是要注意這些字母可以取的值有什么限制。下面舉例來說明。

例7.解關(guān)于 x 的方程：（a≠0，b≠0，a≠b）。

【解】?jī)蛇叾汲艘?abx，得bx＋a2b＝ax＋ab2? 。

????????解這個(gè)整式方程，bx－ax＝ab2－a2b，(b－a)x＝ab(b－a)? 。

????????因?yàn)?a≠b，b－a≠0，兩邊都除以 b－a，得 x＝ab? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝ab 代入整式 abx，得到 a2b2? 。因?yàn)?a≠0，b≠0，所以 a2b2≠0? 。

????????∴ x＝ab 是原方程的根。

例8.解關(guān)于心的方程：（a≠0，b≠0，a≠b）。

【解】?jī)蛇叾汲艘宰詈?jiǎn)公分母 ab(x＋a)(x＋b)? 。得 a(x＋a)2＋b(x＋b)2＝(a＋b)(x＋a)(x＋b)? 。

????????整理后，得 (a2－2ab＋b2)x－a2b＋ab2－a3－b3，(a－b)2x－a2(b－a)＋b2(a－b)，(a－b)2x＝(a－b)(b2－a2)，(a－b)2x＝－(a－b)2(a＋b)? 。

????????因?yàn)?a－b≠0，那末 (a－b)2≠0，兩邊都除以 (a－b)2，得 x＝－(a＋b)? 。

【檢驗(yàn)】把 x＝－(a＋b) 代入整式 ab(x＋a)(x＋b)，它不等于零。

????????∴ x＝－(a＋b) 是原方程的根。

習(xí)題1-7(3)

解下列關(guān)于 x 的方程(1~5)：

【1、b，2、(m＋n)/2，3、a/4，4、2a，5、a＋b】

6、已知，用 a、b、c、d、t 來表示 x（a≠ct）?！?dt－b)/(a－ct)】

7、已知，推導(dǎo)出? 。