實(shí)標(biāo)量場的哈密頓量密度為：

對全空間積分得到哈密頓算符：

這個(gè)結(jié)果可以看作是一維簡諧振子的哈密頓量向無窮多自由度的推廣。

是三維動(dòng)量空間中處的粒子數(shù)密度算符。

（5.2）式最后一行的第一項(xiàng)是所有粒子貢獻(xiàn)的能量之和。而第二項(xiàng)，如果積分是針對于全空間的話，那么該項(xiàng)就是一個(gè)無窮大的數(shù)（不是算符），是真空的零點(diǎn)能。如果不考慮引力現(xiàn)象，那么零點(diǎn)能并不重要，重要的是兩個(gè)能量的差。都有零點(diǎn)能就相當(dāng)于沒有。

哈密頓算符與產(chǎn)生湮滅算符的對易關(guān)系為：

因此：

設(shè)是哈密頓算符的本征態(tài)，本征值為則有：

從而：

可見產(chǎn)生算符的作用就是讓能量本征值增加而湮滅算符的作用是讓能量本征值減少

實(shí)標(biāo)量場的總動(dòng)量算符為：

設(shè)是哈密頓算符的本征態(tài)，本征值為則有：

動(dòng)量算符與產(chǎn)生湮滅算符的對易子為：

也就是說：

從而：

可見產(chǎn)生算符的作用就是讓動(dòng)量本征值增加而湮滅算符的作用是讓動(dòng)量本征值減少