【閱前提示】本篇出自『數(shù)理化自學叢書6677版』，此版叢書是“數(shù)理化自學叢書編委會”于1963-1966年陸續(xù)出版，并于1977年正式再版的基礎(chǔ)自學教材，本系列叢書共包含17本，層次大致相當于如今的初高中水平，其最大特點就是可用于“自學”。當然由于本書是大半個世紀前的教材，很多概念已經(jīng)與如今迥異，因此不建議零基礎(chǔ)學生直接拿來自學。不過這套叢書卻很適合像我這樣已接受過基礎(chǔ)教育但卻很不扎實的學酥重新自修以查漏補缺。另外，黑字是教材原文，彩字是我寫的注解。

【山話嵓語】『數(shù)理化自學叢書』其實還有新版，即80年代的改開版，改開版內(nèi)容較新而且還又增添了25本大學基礎(chǔ)自學內(nèi)容，直接搞出了一套從初中到大學的一條龍數(shù)理化自學教材大系列。不過我依然選擇6677版，首先是因為6677版保留了很多古早知識，讓我終于搞明白了和老工程師交流時遇到的奇特專業(yè)術(shù)語和計算模式的來由。另外就是6677版的版權(quán)風險極小，即使出版社再版也只會再版80年代改開版。我認為6677版不失為一套不錯的自學教材，不該被埋沒在故紙堆中，是故才打算利用業(yè)余時間，將『數(shù)理化自學叢書6677版』上傳成文字版。??

第十二章曲線運動，轉(zhuǎn)動

【山話||? 本系列專欄中的力單位達因等于10??牛頓；功的單位爾格等于10??焦耳。另外這套老教材中的力的單位常用公斤，如今是不允許的，力是不能使用公斤為單位的】?

§12-3斜拋物體的運動

【01】炮彈在空中的運動（圖12·8），從救火龍頭里噴出來的水點的運動（圖12·9）等都是斜拋運動。它們先沿曲線 OBA 上升，到達最高點 A 后，又沿曲線 ACD 下降。

【02】斜拋物體的運動，也可以看作是由下面兩種運動合成的。一種是物體由于慣性而用初速度 v? 沿拋射方向作勻速直線運動，另一種是在重力作用下的自由落體運動。因此，斜拋物體的運動規(guī)律可以用下列公式來表示：

【03】式中 v斜?和 S斜?是物體沿拋射方向的速度和距離，vy 和 Sy 是物體沿豎直方向的速度和距離。

【04】我們先來作出斜向上拋的物體的運動軌跡，然后再簡單地分析一下。我們?nèi)耘f舉幾個例題來說明。

例3.用60米/秒的初速度與水平面成45°的角把一個物體斜向上拋。試作出這個物體的運動軌跡。取g＝10米/秒2。

【解】利用上面的公式，v?＝60米/秒，代入得 S斜＝60t，Sy＝1/2×10×t2＝5t2? 。用 t＝0,1,2…代入，得下表：

????????作沿地面的水平直線 Ox，再作與 Ox 成45°角的直線 OS? 。在 OS 上取相等線段（圖中是1厘米）OA、AB、BC…。因為物體在斜線上作勻速直線運動，所以O(shè)A、AB、BC…各線段的長度分別代表物體在第1秒內(nèi)、第2秒內(nèi)、第3秒內(nèi)……所通過的距離，也就是各線段都代表60米。

????????物體原來位于 O 點。在開始運動后的第1秒末，物體沿斜線走到 A 點，OA＝60米，同時又豎直向下走了5米，AA?＝5米，所以第1秒末物體實際上的位置是在 A? 點。同樣，第2秒末，物體又沿斜線走了60米到達 B 點，AB＝60米，但同時它豎直向下走了20米，BB?＝20米，所以第2秒末物體實際上的位置是在B?點。依此類推，得到第3秒末物體位于 C? 點，第4秒末物體位于 D? 點……把A?、B?、C?…各點平滑地聯(lián)結(jié)起來，就得到物體的運動軌跡。軌跡曲線和Ox直線的交點 J? 表示物體的落地點。

????????從圖上可以求出：(1)從出發(fā)點到達落地點的距離（一般叫做水平射程）。量得 OJ?＝6.0厘米，因為我們用1厘米的線段代表60米，所以 OJ? 代表60×6.0＝360米。(2)物體到達的最大高度。從圖中可以看出，K?K? 這一線段代表最大高度，量得K?K?＝1.5厘米，所以它代表60×1.5＝90米。(3)物體從出發(fā)點到達落地點所經(jīng)過的時間。量得 OJ＝8.5厘米，它代表物體在落地前沿拋射方向走了60×8.5＝510米。由于在這個方向的運動是勻速的，求得經(jīng)過的時間為510÷60＝8.5秒。(4)物體從出發(fā)點到達最高點所經(jīng)過的時間。量得 OK＝4.25厘米，應用同樣的方法求得所經(jīng)過的時間為4.25秒。

【05】如果把初速度 v? 分解成為兩個互相垂直的分速度，一個是水平方向的 v?cosθ 另一個是豎直向上方向的 v?sinθ，θ?是 v?與水平方向所夾的角，也就是斜拋物體的投射角（圖12·11）；那么，斜拋物體的運動，也可以看作是由這樣兩個運動合成的：一個是沿水平方向的勻速直線運動，勻速度為 v?cosθ；另一個是初速度為?v?sinθ 的豎直上拋運動。所以斜拋物體的運動規(guī)律，也可以寫成：

【06】式中 vx 和 x 是物體沿水平方向(x軸)的速度和距離；vy 和 y 是物體沿豎直向上方向(y軸)的速度和距離。

例4.把斜拋物體運動分解為豎直方向和水平方向上的分運動來解例3。

【解】已知 v?＝60米/秒，θ＝45°。代入上列 x 和 y 兩式，得

????????用 t＝0,1,2…代入（用四舍五入），列成下表：

????????作Ox軸和Oy軸。兩軸上分別取相等線段（圖中是1厘米)，每一線段都代表60米。把表中各點畫出來，如O、A、B.….平滑地聯(lián)結(jié)這些點，就得到物體的運動軌跡（圖12·12）。

????????從圖中也可以求出(1)物體的水平射程。量得OI＝6.0厘米，因為1厘米代表60米，所以水平射程＝60×6.0＝360米。(2)物體的落地時間。用上面的關(guān)系式 x＝42.42t，即可求得 t＝360/42.42≈8.5秒。

【07】用作圖法時，由于受到儀器的限制（如直尺只能量到毫米等），所以得到的結(jié)果總是近似值。在下面的例5中我們還要進一步用數(shù)學公式來求解。

【08】拋射物體的射程由兩個因素來決定，即初速度和投射角。

【09】當投射角一定的時候，射程隨著初速度的增加而增加。圖12·13就是表示這種關(guān)系的實驗裝置。管子里噴出來的水點的初速度，決定于噴口和玻璃圓簡內(nèi)水面的高度差。高度差越大，噴出水點的初速度就越大，因而射程也越遠。

【10】當初速度的大小一定的時候，拋射物體的射程隨著投射角的改變而改變。如果我們把噴水的管子接到大口徑的容器上，使實驗過程中水面的降低很少，那么管中噴出來的水點的初速度可以認為是不變的。這樣，逐漸增加它的投射角，就可以看到，最初水點的射程隨著投射角的增加而增加，而當投射角增加到某一數(shù)值時，射程為最大，以后再繼續(xù)增加時，射程就要減?。▓D12·14）。如果沒有空氣阻力，當投射角等于45°時，拋射物體的射程為最大。

【11】以上的討論，都是把空氣阻力等略去不計，實際上，空氣阻力的影響很大，它不僅使拋射物體的射程減小，也使軌跡上最高點的高度減小。圖12·15就表示這種關(guān)系。虛線表示用相同的初速度和投射角在不計空氣阻力時拋射物體的軌跡，實線表示拋射物體的實際飛行軌跡。顯然，從圖中可以看到它們的相差很大。

例5.地面上用投射角45°和初速度60米/秒投拋一個小球。求(1)小球上升到最高點的高度，(2)小球從拋出到落地所需的時間，(3)小球的水平射程。取g＝10米/秒2。

【解】

(1)我們把拋射物體的運動看作是由以初速度 v?cosθ 為速度的沿水平方向的勻速直線運動，和以初速度 v?sinθ 的豎直上拋運動的合運動。因此，表達它的運動規(guī)律的公式就是（見335頁）【山引||? 見本篇專欄第5段】：

????????現(xiàn)在就利用這一組公式來求下面各項。

(2)小球上升到最高點的高度。也就是要求圖12·16中的 AB? 。我們知道 A 點的特點是豎直方向的速度等于零（水平方向的速度不等于零），即vy＝0，因為在 A 點以前，物體沿曲線 OA 上升，這時速度的方向斜向上方；過了 A 點，物體沿曲線 AC 下降，這時速度的方向斜向下方，速度的方向由斜向上方變?yōu)樾毕蛳路綍r，必然有一點的豎直分速度等于零，這就是 A 點。因此，設(shè)從出發(fā)點 O 到達最高點?A 所經(jīng)歷的時間為 t，則。

????????于是。

????????把v?＝60米/秒，θ＝45°代入，求得小球上升到最高點的高度為

(3)小球從拋出到落地所需的時間。這個時間就是小球從被拋出開始到落到地面時所經(jīng)歷的時間，也就是圖12·16中小球從 O 點沿曲線經(jīng) A 點落到 C 點所化的時間。從圖中可以看出 C 點在x軸上，y=0。所以，設(shè)所求的時間為 t?，則。

????????解方程式時，還有一個 t?＝0，它表示小球剛被拋出但尚未離開 O 點時 (y＝0) 的時間。同時，我們還可以看到，t?＝2t?【山注||? 原文此處“1”是上標】這個關(guān)系表明小球沿 OA 曲線上升所化的時間與小球沿曲線 AC 下降所化的時間相等。這是豎直上拋和斜向上拋運動的特點，即上升時間等于下落時間。

????????把 v? 和 θ 的數(shù)字代入，求得落地時間為

(4)小球的水平射程。即求出圖中的 OC 長度。我們既然已經(jīng)知道了 t?，則代入 x 的式子，即得。

????????用數(shù)字代入，得

【12】把這些用公式所求得的各個量和例3中用圖解法求得的結(jié)果比較一下。

習題12-3

1、根據(jù)物體作曲線運動的條件來分析為什么平拋運動和斜拋運動都是曲線運動。

2、物體作平拋運動或斜拋運動時，怎樣求得它在任何時刻的速度大小？[提示：參看習題12-2第5題]

3、在距離地面2公里的高空，有一架飛機正在進行水平飛行，在離目標3公里（水平距離）的時侯，投下一顆炸彈，恰好擊中目標。問炸彈在空中的時間是幾秒？飛機的速度是多少公里/小時？取g=10米/秒2?！?0秒，540公里/小時】

4、設(shè)平拋物體運動的初速度為v?，在拋出后 t 秒末的速度為 v，試證明：v2＝v?2＋g2t2? 。如果下落豎直距離 h 時的速度為 v，試證明：v2＝v?2＋2gh? 。

5、子彈從與水平方向成60°角的槍中射出，離開槍口的速度是400米/秒。問子彈在最高點時的速度是多少？方向怎樣？在離地面395米高空處子彈的速度是多少？g=10米/秒2。（不計空氣阻力）【200米/秒，水平方向；390米/秒】

6、用初速度7840厘米/秒和投射角30°把一個物體投拋出去，求：(1)2秒鐘后物體離地面的豎直距離，(2)物體到達的最高距離和所化時間，(3)物體的水平射程。（不計空氣阻力）【(1)5880厘米，(2)7840厘米，4秒，(3)約54300厘米】