先看一個(gè)問題：

這是高中數(shù)學(xué)中非常重要的一個(gè)數(shù)列問題，叫做錯(cuò)位相減求和，所有老師和學(xué)生其實(shí)都知道，這個(gè)問題的計(jì)算步驟相當(dāng)繁瑣，非常麻煩。

甚至有個(gè)段子是關(guān)于這個(gè)的：“有老師上課前沒吃飯，然后正好那天有錯(cuò)位相減的內(nèi)容，老師留了一道題放在黑板上，然后自己下來吃了頓飯，上來之后發(fā)現(xiàn)還有一半學(xué)生沒做完，做完的那一半中，還有另一半是算錯(cuò)的?！?/p>

這個(gè)段子有點(diǎn)夸張哈，但是這個(gè)東西確實(shí)不好算，這個(gè)計(jì)算說難不難，快的同學(xué)大概4分30秒能做完。（我課堂實(shí)測過）一般而言在，能算對(duì)的同學(xué)在8分鐘左右。

大概在6，7年前，我開始對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行了研究。找到這個(gè)計(jì)算問題的公式。話句話說，如果對(duì)于這個(gè)計(jì)算不需要過程，只需要結(jié)果的情況下，我能讓一個(gè)初中數(shù)學(xué)水平的普通學(xué)生在一分鐘之內(nèi)計(jì)算出正確結(jié)果。

下面我講講這個(gè)公式

大概用了一年的時(shí)間，我給出了這個(gè)公式的上面的這個(gè)形式，早期還有其他的形式。下面講講這個(gè)公式成為這個(gè)樣子的過程。

這個(gè)時(shí)候相當(dāng)于已經(jīng)求出了A和B 也就是說我求出了

這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，其中A,B的結(jié)果就在上面的公式中。在這里我小結(jié)一下，我這里得到的是

然后，繼續(xù)進(jìn)行的推導(dǎo)在這里：

最有意思的就是這個(gè)C到底是多少？當(dāng)然可以硬推，這里我給出一個(gè)我的辦法。

有一種數(shù)學(xué)問題是已知數(shù)列的前n項(xiàng)和然后通項(xiàng)的的問題，通常我們都有下面的公式

這所有人都知道，但是很少有人考慮過的問題的是，什么時(shí)候上面的表達(dá)式是不用分段的，下面是我思考的結(jié)果。

在Sn的表達(dá)式中，令n=0的時(shí)候如果這個(gè)表達(dá)式等于0，那么求出來的an公式是不分段的。

基于這一點(diǎn)，我們重新思考下面的表達(dá)式中的C是多少

假設(shè)我們已經(jīng)把C已經(jīng)求出來了，然后去求an，由于an的通項(xiàng)公式是不進(jìn)行分段的，是整個(gè)的，就是我們一開始說的這個(gè)：

應(yīng)用我上面的結(jié)論，我就可以知道，當(dāng)n=0的時(shí)候，Sn的表達(dá)式應(yīng)該是0，所以我們可以口算得出:C=-B

所以，到了這一步，我就得到了下面的Sn公式：

到此處，其實(shí)就得到了這問題的1.0版本的解答

下面就是實(shí)際的演練的結(jié)果了。

實(shí)際效果怎么樣呢？相當(dāng)糟糕。因?yàn)楣教珡?fù)雜，學(xué)生根本記不住，尤其是其中的B的公式，復(fù)雜到爆炸。最后的結(jié)果是，很多學(xué)生自己計(jì)算到最后幾乎算不對(duì)這個(gè)問題，而我給出的公式太復(fù)雜，學(xué)生又記不住，基本沒有幫到學(xué)生。

那怎么辦呢？改，繼續(xù)優(yōu)化公式，站在學(xué)生的角度來研究這個(gè)問題。

當(dāng)時(shí)教過很多藝考生，他們需要的數(shù)學(xué)成績不高，整體數(shù)學(xué)能力也比較差，所以，我當(dāng)時(shí)的應(yīng)對(duì)措施是干脆別讓學(xué)生記憶A,B 的具體公式了，直接讓學(xué)生現(xiàn)場計(jì)算吧。

我舉個(gè)例子，這個(gè)方法是這樣進(jìn)行的，比如讓學(xué)生計(jì)算一開始的問題：

根據(jù)公式可得到：

先計(jì)算前兩項(xiàng)：

帶入公式：

然后解出A,B。

這個(gè)就叫做公式2.0吧，這個(gè)其實(shí)比1.0的可操縱性要好一點(diǎn)，但是

就上面那個(gè)計(jì)算的過程，其實(shí)對(duì)很多同學(xué)來說，還是有一點(diǎn)點(diǎn)復(fù)雜，有可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，特別是藝考生。

（說實(shí)話，藝考生是我進(jìn)步的動(dòng)力，很多更好的方法和公式都是他們逼出來的，后來我的標(biāo)準(zhǔn)是：如果公式簡單到藝考生都可以掌握，那一般學(xué)生肯定是沒有問題的 ）

說實(shí)話，公式到這個(gè)階段，已經(jīng)有學(xué)生開始使用了，畢竟只是記憶公式的形式而不是具體的復(fù)雜表達(dá)式，這樣要好很多了，但是，我自己覺得還是不夠簡潔，不夠優(yōu)美，因?yàn)檫€是需要學(xué)生們解方程。

最后，當(dāng)我重新審視這兩種方案的時(shí)候，我得到了最后的方案，一半用第一個(gè)方案，一半用第二個(gè)方案。其中A就是一開始的樣子，倒是B公式，我用2.0版本中的待定系數(shù)法來借助初值進(jìn)行計(jì)算，具體是下面這樣的

然后解得

最后就得到了下面的公式3.0版本

其實(shí)這個(gè)公式一開始的時(shí)候，以及我上面的所有推導(dǎo)中，出現(xiàn)字母p的地方的全部出現(xiàn)的都是字母q，為什么最后要改成p。

因?yàn)槲矣凶隽俗詈笠徊絻?yōu)化----意義優(yōu)化。

公式太枯燥，學(xué)生記不住哪。

為了方便記憶，把A和B這兩個(gè)分?jǐn)?shù)換成橫向的書寫

注意，早期的時(shí)候不是app-1，是aqq-1，哈哈，大家一看就發(fā)現(xiàn)了，aqq-1不好找意義，但是app-1是有意義的，大家都知道，是蘋果apple的前三個(gè)字母，同時(shí)也是大家現(xiàn)在下載的app應(yīng)用的縮寫，總之a(chǎn)pp在我們的生活中出現(xiàn)很多。

所以最后給了這么一句話：

蘋果一代

順著A的思路，往下多走一步

哎咦，大蘋果一代

“哎咦”這兩個(gè)字是什么鬼，嘻嘻，你仔細(xì)體會(huì)他的諧音，是不是和a1是一樣的。

為什么是“大”蘋果一代，你看B的公式里面字母A是大寫，這個(gè)A是第一步算出來的A嘛，所以要用“大蘋果一代”，哈哈哈哈哈哈哈。

最后，我再帶大家看一遍公式

這個(gè)公式在很多個(gè)場合都講過，有給教師分享，還有對(duì)外講座，尤其是對(duì)外講座，簡直好評(píng)如潮，口碑炸裂。這個(gè)東西最有趣的其實(shí)是第二句口訣，簡直就是來搞笑的，哈哈，但是它居然有實(shí)際的意義。

最后說說這個(gè)公式在實(shí)際上課的過程中的講解方法和授課效果。如果上課只講這個(gè)的話，那就真是把學(xué)生毀了，實(shí)際考試當(dāng)中，這個(gè)是大題，就算結(jié)果全對(duì)的話，是肯定要扣分的，所以這個(gè)是需要講常規(guī)解法以及過程的。

這個(gè)是我上課筆記的截圖

這個(gè)錯(cuò)位相減的計(jì)算過程我講了至少100遍，然后看學(xué)生自己寫，就會(huì)出現(xiàn)各種你想不到的錯(cuò)誤，上面筆記中所有的紅筆的部分全部都是同學(xué)們自己平時(shí)可能出錯(cuò)的地方，紅筆強(qiáng)調(diào)的部分就是這些年積累的學(xué)生的各種可能的錯(cuò)。

有同學(xué)問，那你這公式什么時(shí)候用，嘻嘻，你看筆記中有“經(jīng)計(jì)算”三個(gè)字對(duì)不對(duì)，寫完這三個(gè)子之后，去拿一張草稿紙，代公式，計(jì)算出答案，然后寫到右邊，就是最后的結(jié)果。

你的卷面和其他同學(xué)的卷面沒有任何不同，這樣考試?yán)蠋熼喚淼臅r(shí)候你不會(huì)丟步驟分。但是你再最核心和最難的地方使用更快的方法計(jì)算的。

當(dāng)然，還是會(huì)有少部分同學(xué)堅(jiān)持使用原始方法計(jì)算，但是作為老師你需要強(qiáng)調(diào)上面紅筆寫出的部分，這是在幫助這部分同學(xué)提高準(zhǔn)確率。

很多老師管這種東西叫大招。

嘻嘻，大招不大，我有很多。

你可以用這個(gè)刺激學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)和興趣，但是你不能用這個(gè)蒙蔽學(xué)生，你說數(shù)學(xué)全靠這個(gè)，數(shù)學(xué)里面都是這個(gè)，數(shù)學(xué)就靠大招就能學(xué)好。

這就真的誤人子弟了，不能這樣。

說說上課效果

1.學(xué)生會(huì)很喜歡，很有興趣。基本錯(cuò)位相減就沒問題了

2.學(xué)生會(huì)因此產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。這是我從來沒有想到過的，我自己特別喜歡愿意研究數(shù)學(xué)里面的公式方法技巧，有的沒有教學(xué)價(jià)值，純屬自娛自樂，有的教學(xué)價(jià)值深遠(yuǎn)，比如這個(gè)公式。我在課上講這個(gè)，學(xué)生會(huì)覺得原來數(shù)學(xué)還可以這樣，甚至有學(xué)生從我講完這個(gè)之后就開始覺得數(shù)學(xué)有意思。這真是意外收獲。

3.學(xué)生會(huì)更加認(rèn)同老師。在我這里是這樣，我講自己推導(dǎo)出來的東西給我自己的學(xué)生，神形兼?zhèn)?，我喜歡這種感覺。

姜文說：導(dǎo)演拍電影需要拍自己心眼里長出來的東西。對(duì)這句話，我深以為然。放到教師教書這件事情上是一樣的。

關(guān)于這個(gè)公式的來龍去脈，課堂講解，說到這里。

說說關(guān)于這個(gè)公式的故事：

從來沒有想到我會(huì)在這樣一個(gè)場合把這些東西寫下來，在我之前那些年的教學(xué)生涯中，我都覺得這些內(nèi)容是我秘而不宣的東西，從來我都是在課堂上講給我的學(xué)生，而從來是很少講給同行的，（以上內(nèi)容只是九牛一毛）我后來友好分享給我的一個(gè)曾經(jīng)的同事 。

這種東西沒有法律保護(hù)，更沒有知識(shí)產(chǎn)權(quán)。

后來我這個(gè)前同事去了大廠，（再后來帶了網(wǎng)課）于是就有了下面這個(gè)截圖，錯(cuò)位相減的這個(gè)公式的解法的觀看人數(shù)是14萬，在觀看人數(shù)最多的4個(gè)內(nèi)容中，方法盡數(shù)來自我這里，我感到無比欣慰。也感謝我的這位前同事幫我驗(yàn)證了這些東西的巨大價(jià)值。

這些公式也好，方法也好，他們有什么特點(diǎn)呢？

1.簡潔好記。太復(fù)雜就基本沒戲了，學(xué)生不用。無論前面推導(dǎo)有多復(fù)雜，結(jié)論必須簡單，不簡單就回去繼續(xù)優(yōu)化吧。哈哈哈

2.能夠解決普適性問題。說白了，高一高二和高考中的高頻考點(diǎn)問題，考的少的，就算你再簡單，也沒有必要教給學(xué)生，因?yàn)槌Ｒ?guī)方法就夠了。

3.能夠大大優(yōu)化傳統(tǒng)方法。你講一個(gè)新方法，比原來的還復(fù)雜，你講毛呀，學(xué)生自己搞定就好啦。

4.講解容易。這個(gè)其實(shí)比較好辦，說白了，總有更好的講解方式，多想多教，你肯定能找到。

希望這些技巧和方法能夠幫到盡可能多的同學(xué)和老師。

后面，我一個(gè)一個(gè)跟大家講講這些方法技巧和方法。

看到大家的很多評(píng)論，我覺得我高興死了。嘻嘻。