State-Space Representation

狀態(tài) dot x = A x + B u

輸出 y = C x + D u

上式拉式變換 s Xs = A Xs + B u(s)，移項(xiàng)，Xs = ( s I - A )-1 B us

下式拉氏變換 Ys = C Xs + D us，帶入Xs，Ys = ( C ( s I - A )-1 B + D ) us?

傳遞函數(shù) Gs = Ys?/ us?= C ( s I - A )-1 B + D

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，沒(méi)有輸入

dot x = A x

矩陣A的特征值 λ，根據(jù)矩陣A的特征值λ來(lái)判斷系統(tǒng)的表現(xiàn)

x1 = C11 eλ1t + C12 eλ2t + …

x2 = C21 eλ1t + C22 eλ2t + …

對(duì)于指數(shù)函數(shù)ent，λi = a+ib

n大于0，單調(diào)遞增；n小于0，單調(diào)遞減

eλit，λi = a+ib

特征值的實(shí)部部分a，

Re(λi) < 0，t 趨向于∞，xi趨于0

Re(λi) > 0，t 趨向于∞，xi趨于∞

特征值的虛部部分b，不等于0，有振動(dòng)，

Im(λi) < 0，t 趨向于∞，振動(dòng)越來(lái)越小，最終趨于0

Im(λi) > 0，t 趨向于∞，振動(dòng)越來(lái)越大，最終趨于∞

閉環(huán)系統(tǒng)，有輸入

u = - k x

dot x = A x - B k x = ( A - B k ) x，設(shè)計(jì)不同的k控制( A - B k ) (Acl)的特征值

一種選擇k的方式 LQR(?Linear Quadratic Regulator )

在x不可測(cè)的情況下，設(shè)計(jì)觀測(cè)器，x hat

x - x hat = e

x hat = A x hat + B u + L( y - y hat)

y hat = C x hat + D u

dot e = ( A - LC ) e

使得( A - LC )的特征值小于0，

就可以使得e在時(shí)間趨于∞的時(shí)候趨于0,

x hat便會(huì)趨近于x，

根據(jù)觀測(cè)器來(lái)設(shè)計(jì)控制器

重點(diǎn)在于A矩陣的特征值

特征向量 A * V = λ * V，同向/反向，不會(huì)發(fā)生其它方向的變化

| λ E - A | = 0

Gs = C ( s I - A )-1 B + D

( s I - A )-1 = ( s I - A )* / | s I - A |

| s I - A | = 0

在傳遞函數(shù)中求極點(diǎn)，就相當(dāng)于在矩陣中求特征向量