（老碧作為外行人，粗淺的理解，如有偏差，歡迎大佬們不吝賜教?。?/p>

參考資料：（一起服用感覺更嗨，略過亦可~~~lol?。?/p>

1. 《理論力學(xué)》 馬爾契夫 著——例題來源，概念：虛位移

2. 《力學(xué)與理論力學(xué) [下冊]》 秦敢 向守平 編著——概念：約束

3. 清華大學(xué) 李俊峰 理論力學(xué)網(wǎng)課（參考資料1的翻譯者，看書感覺巨牛批一大佬）——概念：自由度

4. 《數(shù)學(xué)分析教程（上冊） 第二版》 常庚哲 史濟懷 編——概念：弧長、曲率、曲率公式

5. 《高等數(shù)學(xué)導(dǎo)論 上冊 第3版》中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室 編——概念：曲率、曲率公式、曲率半徑

6. 《高等數(shù)學(xué) 上冊 第六版》同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系 編——概念：曲率、曲率公式、曲率半徑

7. 《高等代數(shù)（上冊）——大學(xué)高等代數(shù)課程創(chuàng)新教材》丘維聲 著——n維向量空間

這里引入了自由度的概念，因為理論力學(xué)研究的是歐幾里得空間情形下的物體運動，所以橫平豎直，三維空間，x，y，z三個兩兩線性無關(guān)的坐標軸為空間中任意一點賦予三個坐標。

物體的位置（徑矢）就可以以坐標與參數(shù)時間t構(gòu)成的參數(shù)方程組表示，而物體的速度則可以用位置與時間的導(dǎo)數(shù)表示。

a.自由度的概念

我們研究只有一個質(zhì)點的系統(tǒng)內(nèi)，質(zhì)點在空間內(nèi)的自由運動（各個方向不受限制，各個方向的運動狀態(tài)相互獨立，不會受其他因素影響），就會建立一個新的三維坐標系，那么研究這個質(zhì)點就需要空間相關(guān)的三個變量（質(zhì)點運動沿x，y，z軸分解對應(yīng)的向量關(guān)于時間的函數(shù)）。

如果我們研究N個質(zhì)點的系統(tǒng)，且質(zhì)點之間相互獨立，不存在任何意義上的相互影響，那么我們就需要3N個上述變量。

我們將上述描述變量稱為系統(tǒng)的自由度，指的是，描述系統(tǒng)所有質(zhì)點運動狀態(tài)所需要的最少的變量，可以類比于線性代數(shù)中線性空間基的概念。

b.自由度的性質(zhì)（例子）

首先自由度是一個變量，那么具有穩(wěn)恒性質(zhì)的量就不具有自由度：

• 比如在平面活動的物體，z軸坐標恒為0，則z的取值就不是自由度；

• 對于剛性桿，桿的長度始終不變，也不是自由度。

假如其中的所有質(zhì)點運動相互之間都是相互獨立，且質(zhì)點各個方向上的運動狀態(tài)也都是獨立的，不會互相影響牽制的，那么，N個質(zhì)點就需要3N個變量進行描述，也就是這個由N個質(zhì)點組成的系統(tǒng)自由度為3N。

但是假如其中存在不同質(zhì)點之間運動相互依賴，或者同一個質(zhì)點上，兩個變量之間相互依賴，那么這個時候其自由度就小于3N，比如說：

1. 2個質(zhì)點用桿連接在平面上運動自由度為3——

   分析：

1. 我們設(shè)：

   ψ（變量）為桿向量AB與x軸夾角，設(shè)A（x1,y1,z1），B（x2,y2,z2）——7個變量；

   桿長λ——桿長為常量；

2. 于是有，x2=x1+λcos?ψ，y2=y1+λsin?ψ，z1=0，z2=0；

3. 所以描述該系統(tǒng)只需要（x1,y1,ψ）或（x2,y2,ψ）或（x1,y2,ψ）或（x2,y1,ψ）中任意一個三個變量的組合就夠了，故而自由度為3；

4. 同時，方程數(shù)為4，變量數(shù)為7，自由度：7-4=3；

2. 冰刀運動自由度為2,： 冰刀以細桿為模型，在運動過程中，桿上一個點C的速度始終沿著桿——

   分析

1. 我們設(shè)（變量）ω為點C與x軸夾角，設(shè)C（x3,y3,z3）——4個變量；

2. 于是有y3=x3tan?ω，z3=0；

3. 所以描述該系統(tǒng)只需要（x3,ω）或（y3,ω）中任意一個兩個變量的組合就夠了，故而自由度為2；

4. 同時，方程數(shù)為2，變量數(shù)為4，自由度：4-2=2.

——分析與公式法結(jié)果統(tǒng)一。