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第五章 定積分

第四節(jié)?反常積分

一、無窮限的反常積分

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,+∞)上連續(xù)，取t>a，如果極限

——存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞)上的反常積分，記作

——這是也稱該反常積分收斂；如果上述極限不存在，則函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a,+∞)上的反常積分就沒有意義，習(xí)慣上稱為反常積分發(fā)散，這是上述記號不再表示數(shù)值了。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,b]上連續(xù)，取t<b，如果極限

——存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞,b]上的反常積分，記作

——這是也稱該反常積分收斂；如果上述極限不存在，則函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(-∞,b]上的反常積分就沒有意義，則稱為反常積分發(fā)散。

二、無界函數(shù)的反常積分

概念：

• 瑕點：如果函數(shù)f(x)在點a的任一鄰域內(nèi)都無界，那么點a稱為函數(shù)f(x)的瑕點（也稱為無界間斷點）。

• 瑕積分：無界函數(shù)的反常積分又稱為瑕積分。

定義：設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)，點a為f(x)的瑕點。取t>a，如果極限

——存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a,b]上的反常積分，仍然記作

——這是也稱該反常積分收斂；如果上述極限不存在，則稱該反常積分發(fā)散。

類似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，取b為f(x)的瑕點。取t<b，如果極限

——存在，則定義

——否則，則稱該反常積分發(fā)散。