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最近我們被客戶要求撰寫關(guān)于HAR-RV的研究報(bào)告，包括一些圖形和統(tǒng)計(jì)輸出。

我們復(fù)制了Ghysels（2013）中提供的示例。我們進(jìn)行了MIDAS回歸分析，來預(yù)測季度GDP增長以及每月非農(nóng)就業(yè)人數(shù)的增長

預(yù)測GDP增長

預(yù)測公式如下

其中yt是按季度季節(jié)性調(diào)整后的實(shí)際GDP的對數(shù)增長，x3t是月度總就業(yè)非農(nóng)業(yè)工資的對數(shù)增長。

首先，我們加載數(shù)據(jù)并執(zhí)行轉(zhuǎn)換。

R>?y?<-?window(USqgdp,?end?=?c(2011,?2))R>?x?<-?window(USpayems,?end?=?c(2011,?7))R>?yg?<-?diff(log(y))?*?100R>?xg?<-?diff(log(x))?*?100

最后兩行用于均衡樣本大小，樣本大小在原始數(shù)據(jù)中有所不同。我們只需在數(shù)據(jù)的開頭和結(jié)尾添加其他NA值即可。數(shù)據(jù)的圖形表示如圖所示。要指定midas_r函數(shù)的模型，我們以下等效形式重寫它：

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

R語言預(yù)測期貨波動率的實(shí)現(xiàn)：ARCH與HAR-RV與GARCH，ARFIMA模型比較

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就像在Ghysels（2013）中一樣，我們將估算樣本限制在1985年第一季度到2009年第一季度之間。我們使用Beta多項(xiàng)式，非零Beta和U-MIDAS權(quán)重來評估模型。

R>?coef(beta0) (Intercept)?yy?xx1?xx2?xx30.8315274?0.1058910?2.5887103?1.0201202?13.6867809R>?coef(betan) (Intercept)?yy?xx1?xx2?xx3?xx40.93778705?0.06748141?2.26970646?0.98659174?1.49616336?-0.09184983(Intercept)?yy?xx1?xx2?xx3?xx40.92989757?0.08358393?2.00047205?0.88134597?0.42964662?-0.17596814xx5?xx6?xx7?xx8?xx90.28351010?1.16285271?-0.53081967?-0.73391876?-1.18732001

我們可以使用2009年第2季度至2011年第2季度包含9個(gè)季度的樣本數(shù)據(jù)評估這三個(gè)模型的預(yù)測性能。

R>?fulldata?<-?list(xx?=?window(nx,?start?=?c(1985,?1),?end?=?c(2011,?6)),+?yy?=?window(ny,?start?=?c(1985,?1),?end?=?c(2011,?2)))R>?insample?<-?1:length(yy)R>?outsample?<-?(1:length(fulldata$yy))[-insample]R>?avgf?<-?average_forecast(list(beta0,?betan,?um),?data?=?fulldata,+?insample?=?insample,?outsample?=?outsample)R>?sqrt(avgf$accuracy$individual$MSE.out.of.sample)[1]?0.5361953?0.4766972?0.4457144

我們看到，MIDAS回歸模型提供了最佳的樣本外RMSE。

預(yù)測實(shí)際波動

作為另一個(gè)演示，我們使用midasr來預(yù)測每日實(shí)現(xiàn)的波動率。Corsi（2009）提出了一個(gè)簡單的預(yù)測每日實(shí)際波動率的模型。實(shí)現(xiàn)波動率的異質(zhì)自回歸模型（HAR-RV）定義為

我們假設(shè)一周有5天，一個(gè)月有4周。該模型是MIDAS回歸的特例：

為了進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)論證，我們使用了由Heber，Lunde，Shephard和Sheppard（2009）提供的關(guān)于股票指數(shù)的已實(shí)現(xiàn)波動數(shù)據(jù)。我們基于5分鐘的收益數(shù)據(jù)估算S＆P500指數(shù)的年度實(shí)現(xiàn)波動率模型。

?Parameters:Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)(Intercept)?0.83041?0.36437?2.279?0.022726?*rv1?0.34066?0.04463?7.633?2.95e-14?***rv2?0.41135?0.06932?5.934?3.25e-09?***rv3?0.19317?0.05081?3.802?0.000146?***---Signif.?codes:?0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1Residual?standard?error:?5.563?on?3435?degrees?of?freedom

為了進(jìn)行比較，我們還使用歸一化指數(shù)Almon權(quán)重來估計(jì)模型

?Parameters:Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)(Intercept)?0.837660?0.377536?2.219?0.0266?*rv1?0.944719?0.027748?34.046?<?2e-16?***rv2?-0.768296?0.096120?-7.993?1.78e-15?***rv3?0.029084?0.005604?5.190?2.23e-07?***---Signif.?codes:?0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1Residual?standard?error:?5.535?on?3435?degrees?of?freedom

我們可以使用異方差性和自相關(guān)魯棒權(quán)重規(guī)范檢驗(yàn)hAhr_test來檢驗(yàn)這些限制中哪些與數(shù)據(jù)兼容。

?hAh?restriction?test?(robust?version) data: hAhr?=?28.074,?df?=?17,?p-value?=?0.04408 ? hAh?restriction?test?(robust?version) data: hAhr?=?19.271,?df?=?17,?p-value?=?0.3132

我們可以看到，與MIDAS回歸模型中的HAR-RV隱含約束有關(guān)的零假設(shè)在0.05的顯著性水平上被拒絕，而指數(shù)Almon滯后約束的零假設(shè)則不能被拒絕。

圖說明了擬合的MIDAS回歸系數(shù)和U-MIDAS回歸系數(shù)及其相應(yīng)的95％置信區(qū)間。對于指數(shù)Almon滯后指標(biāo)，我們可以通過AIC或BIC選擇滯后次數(shù)。

我們使用了兩種優(yōu)化方法來提高收斂性。將測試函數(shù)應(yīng)用于每個(gè)候選模型。函數(shù)hAhr_test需要大量的計(jì)算時(shí)間，尤其是對于滯后階數(shù)較大的模型，因此我們僅在第二步進(jìn)行計(jì)算，并且限制了滯后 restriction test 的選擇。AIC選擇模型有9階滯后：

?Selected?model?with?AIC?=?21551.97Based?on?restricted?MIDAS?regression?modelThe?p-value?for?the?null?hypothesis?of?the?test?hAhr_test?is?0.5531733?Parameters:Estimate?Std.?Error?t?value?Pr(>|t|)(Intercept)?0.96102?0.36944?2.601?0.00933?**rv1?0.93707?0.02729?34.337?<?2e-16?***rv2?-1.19233?0.19288?-6.182?7.08e-10?***rv3?0.09657?0.02190?4.411?1.06e-05?***---Signif.?codes:?0?'***'?0.001?'**'?0.01?'*'?0.05?'.'?0.1?'?'?1Residual?standard?error:?5.524?on?3440?degrees?of?freedom

hAh_test的HAC再次無法拒絕指數(shù)Almon滯后的原假設(shè)。我們可以使用具有1000個(gè)觀測值窗口的滾動預(yù)測來研究兩個(gè)模型的預(yù)測性能。為了進(jìn)行比較，我們還計(jì)算了無限制AR（20）模型的預(yù)測。

?Model?MSE.out.of.sample?MAPE.out.of.sample1?rv?~??(rv,?1:20,?1)?10.82516?26.602012?rv?~??(rv,?1:20,?1,?harstep)?10.45842?25.930133?rv?~??(rv,?1:9,?1,?nealmon)?10.34797?25.90268MASE.out.of.sample?MSE.in.sample?MAPE.in.sample?MASE.in.sample1?0.8199566?28.61602?21.56704?0.83338582?0.8019687?29.24989?21.59220?0.83673773?0.7945121?29.08284?21.81484?0.8401646

我們看到指數(shù)Almon滯后模型略優(yōu)于HAR-RV模型，并且兩個(gè)模型均優(yōu)于AR（20）模型。

參考文獻(xiàn)

Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2010）。“具有混合采樣頻率的回歸模型?！?計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)雜志，158，246–261。doi：10.1016 / j.jeconom.2010.01。004。

Andreou E，Ghysels E，Kourtellos A（2011）。“混合頻率數(shù)據(jù)的預(yù)測?！?在MP Clements中，DF Hendry（編），《牛津經(jīng)濟(jì)預(yù)測手冊》，第225–245頁。

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本文選自《R語言中基于混合數(shù)據(jù)抽樣(MIDAS)回歸的HAR-RV模型預(yù)測GDP增長》。

點(diǎn)擊標(biāo)題查閱往期內(nèi)容

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