[原神]圣遺物強(qiáng)化策略——以狗糧限制下的"期望提升率"為優(yōu)化目標(biāo)

2023-04-02 10:36 作者:梅賈別再交白卷啦 0人讀過(guò) | 我要投稿

?前言：

? ? ? ?本文靈感來(lái)自? bbs.nga.cn/read.php?tid=32686876 ，感謝該文章的作者。

? ? ? ?本文省略了非常多證明過(guò)程及文章、求解程序的詳細(xì)說(shuō)明，后續(xù)會(huì)慢慢更新補(bǔ)上。

? ? ? ?求解程序：https://pan.baidu.com/s/1IbU1rPhuSeNbDOGMYIM5TQ ,?提取碼?b6kb

? ? ? ?由于b站專(zhuān)欄最多插入100張圖片，且公式計(jì)算在內(nèi)，所以分兩篇發(fā)。

? ? ? ? ? ??

? ? ? ?本文給出了給定狗糧數(shù)量限制下一種求解強(qiáng)化策略的方法，并以此為基礎(chǔ)探索了合適的養(yǎng)成標(biāo)準(zhǔn)。

一、單角色的情況

期望提升率

? ? ? ?給定一個(gè)角色及各詞條對(duì)這個(gè)角色的權(quán)重、該角色現(xiàn)有的圣遺物后，我們定義圣遺物詞條數(shù)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? $S%20%5C%3A%3D%5C%3A%20%5Csum%20%5Climits_x(%E5%89%AF%E8%AF%8D%E6%9D%A1x%E7%9A%84%E6%9D%83%E9%87%8D)*(%E5%89%AF%E8%AF%8D%E6%9D%A1x%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F)$

? ? ? ?舉個(gè)例子：若大攻擊、小攻擊、雙暴副詞條權(quán)重分別為 0.8 , 0.3 , 1 , 1 ，現(xiàn)有圣遺物中共? ? 7個(gè)大攻擊、1個(gè)小攻擊、5個(gè)暴擊、10個(gè)暴傷? ? 副詞條，則當(dāng)前圣遺物詞條數(shù)為? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? $S%20%5C%3A%3D%5C%3A%207*0.8%2B1*0.3%2B5*1%2B10*1%20%3D%2020.9$

? ? ? ?若在某圣遺物本刷取一件金圣遺物并按某策略強(qiáng)化后，該角色圣遺物分?jǐn)?shù)變?yōu)?? $S%5E%7B'%7D$ ? ，我們定義? ?該強(qiáng)化策略下，該角色刷這個(gè)圣遺物本? ?的期望提升率為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Calpha%20%5C%3A%3D%5C%3A%20ES%5E%7B'%7D%20-S$

? ? ? ?舉個(gè)例子：若花羽沙杯四件套均已到理論最大詞條，刷到一個(gè)頭時(shí)有? $1%5C%25$ ?的概率提升 $1$ 詞條，? $99%5C%25$ ?的概率不提升，則期望提升率為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? $%5Calpha%20%20%5C%3A%3D%5C%3A%20(0.002*(S%2B1)%20%2B%200.998*S)%20-%20S%20%3D%200.002$

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (0.002 為刷到頭的概率 0.2 乘以提升概率 0.01)

? ? ? ?

? ?2. 自然策略?? $Nat_%7BG%7D$

? ? ? ?先看一個(gè)例子：

? ? ? ? ? ? ? ?假設(shè)現(xiàn)有圣遺物為

? ? ?? ? ? ? ? 那么是否應(yīng)該強(qiáng)化如下胚子呢？

? ? ? ?由上一節(jié)中的討論可知強(qiáng)化胚子1時(shí)，有 2/16 的概率獲得0.1詞條提升。而強(qiáng)化胚子? 1的成本為 23435 狗糧，因此，我們不妨先考慮以下問(wèn)題：

? ? ? ?1詞條提升與多少狗糧等價(jià)？

? ? ? ?設(shè)答案為?? $G$ ? ，則由??

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $23435%2F(0.1*2%2F16)%20%5C%3A%3D%5C%3A%201874800$

? ? ? ?從而可在?? $G%20%20%5C%3A%3E%5C%3A%20%201874800$ ? 時(shí)強(qiáng)化胚子1，?? $G%20%5C%3A%5Cleq%5C%3A%201874800%20$ ? 時(shí)不強(qiáng)化胚子1。

? ? ? ? ? ? ? ? 再考慮胚子2：

? ? ? ? ? ? ? ? 強(qiáng)化后期望提升的詞條數(shù)為

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? $0.2*(2%2F16)%2B0.1*(2%2F16)%20%5C%3A%3D%5C%3A%203%2F80$

? ? ? ? ? ? ? ? 因此由

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? $23435%2F(3%2F80)%20%20%5C%3A%3D%5C%3A%20624933$

? ? ? ? ? ? ? ? 從而可在?? $G%20%20%5C%3A%3E%5C%3A%20%20624933$ ? 時(shí)強(qiáng)化胚子2，?? $G%20%5C%3A%5Cleq%5C%3A%20624933$ ? 時(shí)不強(qiáng)化胚子2。

? ? ? ? ? ? ? ? 最后，考慮胚子3：

? ? ? ?選擇強(qiáng)化胚子3時(shí)，有? 1/8? 的概率獲得與胚子2等價(jià)的 4.4詞條(+16) 胚子，有? 1/8? ? ? 的概率獲得與胚子1等價(jià)的 4.3詞條(+16) 胚子，剩下? 3/4? 概率獲得無(wú)法帶來(lái)提升的純狗? ? ? ? ? ?糧胚子，因此設(shè)能通過(guò)強(qiáng)化胚子1、胚子2帶來(lái)的收益分別為?? $G$ ? 時(shí)，是否該強(qiáng)化胚? ? ? ? ? ? ? ? ?子3只需比較強(qiáng)化的成本? $13230$ ? 與收益?? $%5Cfrac%7Bw_%7B1%7D%2Bw_%7B2%7D%7D%7B8%7D$ ?。

? ? ? ? 可解得?? $G$ ? 的臨界值為?? $3054200$ ?，因此可在?? $G%20%5C%3A%3E%5C%3A%203054200$ ? 時(shí)應(yīng)強(qiáng)化胚子3，? $G%20%20%5C%3A%5Cleq%5C%3A%20%203054200$ ? 時(shí)不應(yīng)強(qiáng)化胚子3。

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ? 在上例中，我們由?+20 圣遺物的價(jià)值推出了強(qiáng)化 +16 圣遺物獲得的價(jià)值，再推出了強(qiáng)化 +12 圣遺物獲得的價(jià)值。用同樣的方法，我們可以從所有 +20 圣遺物的價(jià)值遞推求出強(qiáng)化所有 +16，+12，+8，+4，+0 胚子的價(jià)值：

? ? ? ?

? ? ? ? 對(duì) 非+20 的圣遺物?? $i$ ? ，設(shè)強(qiáng)化后分別有?? $%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D$ ? 的概率變成?? $i_%7Bj%7D%5E%7B'%7D%20%20%20%20%20%5Cqquad%20(1%5Cleq%20j%20%5Cleq%2016)$ ，強(qiáng)化所用的圣遺物經(jīng)驗(yàn)數(shù)為? $upexp(i)$ ? ，相比純狗糧，圣遺物?? $i$ ? 能獲得的額外價(jià)值為? $w_%7Bi%7D(G)$ ，則有如下遞推式：

? ? ? ? ? ?? $w_%7Bi%7D(G)%20%3D%20max%5C%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B16%7D(%20%5Csum_%7Bj%3D1%7D%5E%7B16%7Dw_%7Bi_%7Bj%7D%5E%7B'%7D%7D(G))-upexp(i)%2C0%5C%7D$

? ? ? ?

? ? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)?? $w_%7Bi%7D(G)%20%5C%3A%3E%5C%3A%200$ ??時(shí)強(qiáng)化? $i$ ? ，則我們由對(duì)問(wèn)題的回答? $G$ ? 推出了一個(gè)強(qiáng)化策略，我們稱(chēng)這樣推出的強(qiáng)化策略為自然策略?? $Nat_%7BG%7D$ ? 。

? ? ? ? ??

? ? ? ? 3.自然策略的合理性

? ? ? ? 顯然， $G$ ? 越大，采取自然策略? $Nat_%7BG%7D$ ? 時(shí)期望提升率越大。看起來(lái)：要使期望提升率最大，取? $G%20%20%5C%3A%3D%5C%3A%20%2B%5Cinfty$ ? 即可。但這并不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)檫@意味著有概率帶來(lái)提升的圣遺物全部會(huì)被強(qiáng)化，從而讓狗糧不夠用。為了定量分析狗糧是否夠用及證明自然策略的合理性，我們給出以下定義：

? ? ? ??? $I$ ? 為所有圣遺物的集合。

? ? ? ? 函數(shù)?? $f%3AI%5Crightarrow%5B0%2C1%5D$ ? 為一個(gè)圣遺物強(qiáng)化策略。（ $f(x)%20%5C%3A%3D%5C%3A%201$ ? 代表強(qiáng)化?? $x$ ??， $f(x)%20%5C%3A%3D%5C%3A%200$ ??代表不強(qiáng)化?? $x$ ? ， $f(x)%20%5C%3A%3D%5C%3A%20p$ ? 代表以? $p$ ? 的概率強(qiáng)化? $x$ ? ）

? ? ???? $Eexp_%7Ba%7D(f)$ ? 為強(qiáng)化策略?? $f$ ? 下，在圣遺物本?? $a$ ??刷一個(gè)金圣遺物后強(qiáng)化過(guò)程需要的圣遺物經(jīng)驗(yàn)數(shù)。

? ? ? ??

? ? ? ? 首先，對(duì)任意給定的? $a$ ? ，關(guān)于?? $G$ ? 的函數(shù)?? $Eexp_%7Ba%7D(Nat_%7BG%7D)$ ? 關(guān)于? $G$ ? 單增，且值域是有限集??? $Y%3D%5C%7By_%7Bi%7D%5C%7D_%7B(1%5Cleq%20i%20%5Cleq%20n)%7D$ ??。

? ? ? ? 不妨設(shè)?? $y_%7Bi%7D%3Cy_%7Bi%2B1%7D$ ?? ，?? $G_%7Bi%7D%20%5C%3A%3D%5C%3A%20sup%5C%7B%20%20x%5C%3A%7C%5C%3A%20Eexp_%7Ba%7D(Nat_%7BG%7D)%20%3D%20y_%7Bi%7D%20%20%5C%7D$ ??

? ? ? ? 我們令?? $c_%7B0%7D$ ? 為刷到一個(gè)金圣遺物平均獲得的圣遺物經(jīng)驗(yàn)數(shù)，

? ? ? ?? $A_%7Ba%7D%3D%5C%7B%20f%20%20%20%20%5C%3A%7C%5C%3A%20%20%20%20Eexp_%7Ba%7D(f)%20%5Cleq%20c_%7B0%7D%20%5C%7D$ ? ，?? $M_%7Ba%7D%20%5C%3A%3D%5C%3A%20sup_%7Bf%20%5Cin%20A_%7Ba%7D%7D%20%5C%7BElift_%7Ba%7D(f)%5C%7D$

? ? ? ? 則我們可以將問(wèn)題 “在狗糧限制條件下，求期望提升率最大的強(qiáng)化策略”轉(zhuǎn)化為以下問(wèn)題：

? ? ? ? 求?? $f%5Cin%20A_%7Ba%7D$ ? ，使?? $Elift_%7Ba%7D(f)%20%5C%3A%3D%5C%3A%20M_%7Ba%7D$

? ? ? ? 可以證明：存在?? $i%2Cp$ ? 使

? ? ? ? ? ? ? ? $Elift_%7Ba%7D(Nat_%7BG_%7Bi%7D%7D)%2Bp*(Elift_%7Ba%7D(Nat_%7BG_%7Bi%2B1%7D%7D)-Elift_%7Ba%7D(Nat_%7BG_%7Bi%7D%7D))$

? ? ? ? 為符合要求的強(qiáng)化策略，下面稱(chēng)其為由? $c_%7B0%7D$ ? 決定的策略? $N(c_%7B0%7D)$ ? 。

? ? ? ? 從而我們可以用二分法求解想要的策略。

? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ? ?4.? $c_%7B0%7D%20-%20Elift_%7Ba%7D$ ?圖像與二分法求解的誤差分析

可以證明：

? ? ? ? 若按上述方法進(jìn)行求解，則可誘導(dǎo)雙射? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cphi%3A%5B0%2Cy_%7Bn%7D)%20%5Crightarrow%20%5B0%2CMaxlift)%20%5Cqquad%20%0Ac_%7B0%7D%20%5Cmapsto%20N(c_%7B0%7D)$

? ? ? ? 且有關(guān)系式

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? $%5Cphi(y_%7Bi%2B1%7D)-%5Cphi(y_%7Bi%7D)%3D%20%20%5Cfrac%7By_%7Bi%2B1%7D-y_%7Bi%7D%7D%7BG_%7Bi%7D%7D$

從而可以證明：

? ? ? ? 若通過(guò)二分法確定解在區(qū)間?? $(G_%7B0%7D%2CG_%7B0%7D%2B%5CDelta)$ ? 內(nèi)，則取滿足? $Eexp%20%3Dc_%7B0%7D$ ? 的策略

$Nat_%7BG_%7B0%7D%7D%2Bk(Nat_%7BG_%7B0%7D%2B%5CDelta%7D-Nat_%7BG_%7B0%7D%7D)$ ? 時(shí)，與理論最優(yōu)策略提升率差距不超過(guò)

$%5CDelta%2FG_%7B0%7D$ ? 。因此對(duì)于任意期望精度，二分求解是可行的。

? ? ? ? 實(shí)際上，執(zhí)行策略時(shí)只需要將刷到的圣遺物分為三類(lèi)：一類(lèi)為?? $Nat_%7BG_%7B0%7D%7D$ ? 下會(huì)強(qiáng)化的圣遺物，二類(lèi)為非一類(lèi)但?? $Nat_%7BG_%7B0%7D%2B%5CDelta%7D$ ? 下會(huì)強(qiáng)化的圣遺物，三類(lèi)為其他圣遺物。直接將其他圣遺物視作狗糧，一類(lèi)圣遺物按? $Nat_%7BG_%7B0%7D%7D$ ? 策略強(qiáng)化。狗糧堆積時(shí)再?gòu)?qiáng)化二類(lèi)以消耗狗糧即可，可證明這樣的策略與最優(yōu)策略的提升率差距滿足上述條件。

? ? ? ? ? ? ? ??

? ? ? ?5.遞推的初始條件 —— +20圣遺物的價(jià)值確定

? ? ? ?如何確定給定 +20 圣遺物的價(jià)值？

? ? ? ?在主詞條相同的前提下，自然是看刷到該圣遺物后帶來(lái)了多少副詞條的提升?？雌饋?lái)很顯然，但仍然需要考慮圣遺物套裝的影響：若套裝效果不存在，只需要計(jì)算比原圣遺物多多少詞條即可。但若該人物必須穿絕緣4件套，且當(dāng)前沒(méi)有絕緣部位的頭，那么其他部位的散件不可能對(duì)該人物帶來(lái)提升。因此，我們需要分別計(jì)算每個(gè)部位散件、套裝圣遺物需多少詞條才能帶來(lái)提升。

? ? ? ? 具體地，若當(dāng)前(4+1)圣遺物總詞條為? $x_%7B0%7D$ ? ，其他4個(gè)位置按 3套裝+1散件可以湊出?? $x_%7B1%7D$ ? 個(gè)詞條，4套裝可湊出?? $x_%7B2%7D$ ?個(gè)詞條（湊不齊4件則認(rèn)為? $x_%7B2%7D%3D-%5Cinfty$ ? ），則刷到給定位置? $x$ ? 詞條套裝、散件圣遺物分別能帶來(lái)?? $max%5C%7Bx-(%20%20x_%7B0%7D-x_%7B1%7D)%2C0%5C%7D$ ?、? $max%5C%7Bx-(%20%20x_%7B0%7D-x_%7B2%7D)%2C0%5C%7D$ 詞條提升。最后，再將提升詞條數(shù)乘以?? $G$ ? 轉(zhuǎn)化為圣遺物經(jīng)驗(yàn)數(shù)。