冪法與反冪法求特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量
若非零向量x滿足
那么
被稱為A的特征值，x稱為A的特征向量。
一個矩陣的特征值與特征向量不是唯一的。根據(jù)定義轉(zhuǎn)化
解這個方程，我們可以求出特征值，然后求出特征向量。
關(guān)于特征值與特征向量，其他up已經(jīng)做出了具體的詮釋，包括意義，推薦觀看
冪法求特征向量
A是一個n階方陣，求他的特征向量，冪法：他的特征值與特征向量可以通過矩陣A不斷乘以一個初始向量（不是零向量）得到。接下來是證明
來看一下百度百科：
我們來分析一下冪法究竟是怎么求出特征值與特征向量的。
我們大致瀏覽一下，可以發(fā)現(xiàn)他是通過構(gòu)造一個遞歸序列
選取
然后將x0用含A特征向量的基底表示。
下一步可能會看的有些迷糊，
但是這里是A^k的特征值和特征向量？是否能直接帶入？
這是可以的，很容易證明：
我們繼續(xù)來看
后面的一串變成了一個極小量，是因為r1是最大的特征值，所以由它作為分母的分?jǐn)?shù)小于1，這個分?jǐn)?shù)極大次冪是一個極小項。
我們添加一步，將xk替換成A^k*x0
這樣我們可以直觀的看到：矩陣A 的特征向量V1可以通過矩陣A不斷乘以一個初始向量x0（不是零向量）得到。主特征向量V1與A^k*V0就相差了一個倍數(shù)。（a1r1^k）
冪法求特征值
冪法求特征值我直接放吳老師書上的過程了
注意上圖的初始向量是用v0表示的，特征值是用
表示的。兩式相除消去特征值的k次冪得到了最大（主）特征值。
計算方法
這是百度百科的算法，它進行了歸一化處理。和吳老師的方法是一致的，同樣選取了最大分量。
（吳老師的算法）
當(dāng)然，up主沒有那么勤勞會自己寫代碼，而且這篇文章也是各種截圖，我只是將模糊的地方說明了一下，也理了一下冪法思路。下面是中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院張瑞老師的算法：
這一個分量是任取的。
反冪法
反冪法就是一個取倒數(shù)的思路，與冪法一致。這里不做詳細(xì)介紹。
微信公眾號：拉格朗日數(shù)乘
