作用量，光程，變分||理力&光學(xué)

2021-08-07 16:17 作者:湮滅的末影狐 0人讀過(guò) | 我要投稿

//理力和光學(xué)在一個(gè)學(xué)期上，干脆開同一個(gè)文集

//這個(gè)文集應(yīng)該會(huì)是這個(gè)學(xué)期的各種筆記、想法，但內(nèi)容可能不會(huì)全面覆蓋

//這里隨時(shí)接收來(lái)自南開大學(xué)物院的投稿

//這篇筆記是關(guān)于變分原理及其在理論力學(xué)與光學(xué)中的應(yīng)用

0?牛爵爺、伯努利與最速降線

最早涉及變分原理的物理問(wèn)題大約就是最速降線了：

質(zhì)點(diǎn)被約束在光滑軌道上，僅受重力驅(qū)動(dòng)從A點(diǎn)滑至B點(diǎn)。求使質(zhì)點(diǎn)通過(guò)AB用時(shí)最短的軌道方程。

伽利略作為物理學(xué)的奠基人，曾經(jīng)研究過(guò)這個(gè)問(wèn)題，并猜測(cè)圓弧是最速降線，同時(shí)證明了通過(guò)圓弧的時(shí)間小于直接通過(guò)AB線段的時(shí)間。然而我們知道，受到當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)水平的限制，他給出的結(jié)果并不正確。

我們可以簡(jiǎn)單分析一下這個(gè)問(wèn)題，不妨設(shè)A點(diǎn)為原點(diǎn)，x軸水平，y軸豎直向下，則質(zhì)點(diǎn)的速度表示為

$v%3D%20%5Csqrt%20%7B2gy%7D$

質(zhì)點(diǎn)通過(guò)AB耗時(shí)為

$t%3D%5Cint_A%5EB%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7Ds%7D%7Bv%7D%3D%5Cint_0%5E%7Bx_B%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2By'%5E2%7D%7D%7B%5Csqrt%7B2gy%7D%7D%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

這個(gè)問(wèn)題的難點(diǎn)在于，我們完全不知道 $y(x)$ 的表達(dá)式，但要求上面這個(gè)積分的最小值。這里涉及變分法，后文再說(shuō)。

總之是伯努利最早給出最速降線的正確解。哪個(gè)伯努利我也忘了，只知道他將最速降線問(wèn)題等效為光學(xué)問(wèn)題，并利用折射定律解出最終方程。具體是如何等效的，后文再說(shuō)。

當(dāng)時(shí)的伯努利用兩周解出這個(gè)問(wèn)題后相當(dāng)自信地向全歐洲數(shù)學(xué)界發(fā)出挑戰(zhàn)：

If no one else can find this curve before the end of the year, I will publish it.

當(dāng)時(shí)牛爵爺對(duì)于這樣的挑戰(zhàn)略顯不爽，然后...據(jù)說(shuō)是用一個(gè)通宵，自創(chuàng)類似變分的方法搞定了這個(gè)問(wèn)題。數(shù)學(xué)史上著名的打臉事件。牛爵爺?shù)降鬃隽耸裁?，還是后文再說(shuō)。

1 光程，費(fèi)馬原理

還是先講講光學(xué)。幾何光學(xué)三定律，眾所周知：直線傳播、反射定律、折射定律。

然而，以上三定律其實(shí)都可以由費(fèi)馬原理導(dǎo)出。我們先定義光程：給定路徑的光程就是該路徑以折射率加權(quán)的長(zhǎng)度。

$L%3D%5Cint_A%5EB%20n%5C%2C%5Cmathrm%20d%20l$

光線在某兩點(diǎn)間的光程正反映光線通過(guò)兩點(diǎn)的時(shí)間。

費(fèi)馬原理：光線的真實(shí)路徑總是使光程(即上面那個(gè)積分)取到極值或駐點(diǎn)。

① 費(fèi)馬→直線傳播定律

顯然，兩點(diǎn)間線段最短，光程自然是極值。你和我提廣相，引力透鏡？那可有點(diǎn)復(fù)雜...

② 費(fèi)馬→反射定律

如圖，作對(duì)稱點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)符合反射定律的路徑光程為極小值(注意極值不是最值)。

③ 費(fèi)馬→折射定律

如圖所示。

我們注意到，費(fèi)馬原理的數(shù)學(xué)模型和前面最速降線非常相似：一個(gè)積分由未知路徑?jīng)Q定，求使它取到極值的未知路徑。

那么，伯努利的答案也就一步之遙了——質(zhì)點(diǎn)的速度可以等效為一束光的速度，那么由于介質(zhì)中光速反比于折射率，空間中的等效折射率就是 $n%3Dc%2F%5Csqrt%7B2gy%7D$ .

然后，由折射定律，

$n%5Csin%5Cphi%20%3D%20C%20%5CRightarrow%20%5Csin%20%5Cphi%20%2F%20%5Csqrt%20y%20%3D%20C'$

其中φ是最速降線與y軸的夾角。再由此伯努利得出這是擺線的結(jié)論。

當(dāng)然牛爵爺，當(dāng)年的世界第一人，同樣給出令人印象深刻的解答。接下來(lái)看看牛爵爺當(dāng)時(shí)對(duì)付最速降線的操作——變分法。

2 變分原理，牛爵爺?shù)幕卮?/p>

概括一下需要變分操作的基本模型：我們有一個(gè)由未知路徑 $y(x)$ 決定的積分：

$F%5By(x)%5D%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7Df(x%2Cy%2Cy')%5Cmathrm%20d%20x$

求使積分取極值/駐點(diǎn)的路徑?；貞浺幌拢笠粋€(gè)函數(shù)的極值點(diǎn)，一般是求它的導(dǎo)數(shù)，而求導(dǎo)就是給自變量x一個(gè)微小變化dx。

所以，這次給函數(shù) $y(x)$ 一個(gè)微小變化 $%5Cdelta%20y(x)$ 。

這個(gè)微小變化始終滿足：①? $%5Cdelta%20y(x_1)%3D%5Cdelta%20y(x_2)%3D0$ ② 在整個(gè)區(qū)間為小量。

那么，F(xiàn)的變分：

$%5Cbegin%7Baligned%7D%0A%20%20%20%20%5Cdelta%20F%20%26%3D%20F(y%20%2B%20%5Cdelta%20y)-F(y)%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5Bf(x%2Cy%2B%5Cdelta%20y%20%2C%20y'%2B%5Cdelta%20y')-f(x%2Cy%2Cy')%5D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%5C%5C%0A%20%20%20%20%26%3D%20%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D%5Cdelta%20y%2B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D%5Cdelta%20y'%5D%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%0A%5Cend%7Baligned%7D$

對(duì)積分的第二項(xiàng)進(jìn)行分部積分：

$%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D%5Cdelta%20y'%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%20%3D%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D%5Cdelta%20y%7C_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D-%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%20d%20x%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D)%5Cdelta%20y%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx%3D-%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%20d%20x%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D)%5Cdelta%20y%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

所以，

$%5Cdelta%20F%20%3D%5Cint_%7Bx_1%7D%5E%7Bx_2%7D%20%5B%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%20d%20x%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D)%5D%5Cdelta%20y%20%5Cmathrm%7Bd%7Dx$

那么，F(xiàn)取到極值，即δF為0，也就是

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%20d%20x%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20f%7D%7B%5Cpartial%20y'%7D)%3D0$

（事實(shí)上這被稱為拉格朗日方程，后文還會(huì)提到）

回到最速降線問(wèn)題，這里

$f(y%2Cy')%3D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1%2By'%5E2%7D%7B2gy%7D%7D$

代入拉格朗日方程，得到...(公式有點(diǎn)長(zhǎng)，手寫一個(gè)吧)

再利用 $y''%20%3D%20y'%5Cfrac%7B%5Cmathrm%20d%20y'%7D%7B%5Cmathrm%20d%20y%7D$ ，積分一次，可以得到

$y(1%2By'%5E2)%3DC$

我們注意到這其實(shí)就是 $%5Cfrac%20y%20%7B%5Csin%20%5E2%20%5Cphi%7D%20%3D%20C$ ，φ是軌道和y軸的夾角。數(shù)理基礎(chǔ)扎實(shí)的牛爵爺自然不可能看不出這就是傳說(shuō)中的擺線。

3 作用量，分析力學(xué)

其實(shí)，變分操作的應(yīng)用遠(yuǎn)不止于此。分析力學(xué)中，最小作用量原理，這是一個(gè)當(dāng)年讓費(fèi)曼教授感到震驚的原理：

定義系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為

$L%3DT-V$

其中T和V分別是總動(dòng)能和總勢(shì)能，而系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程總是滿足其作用量

$S%3D%5Cint%20L%20%5Cmathrm%20d%20t$

取得極值。

一般來(lái)說(shuō)，對(duì)于系統(tǒng)的某一坐標(biāo)，拉格朗日函數(shù)可以寫為 $L(x%2C%20%5Cdot%20x%20%2Ct)$ 的形式。那么重復(fù)前面的變分運(yùn)算，就可以得到拉格朗日方程：

$%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20x%7D-%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7Dt%7D(%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%20x%7D)%3D0$

最近開始看朗道力學(xué)，這本書里面最讓我印象深刻的一點(diǎn)就是，整個(gè)體系的開始是最小作用量原理，且整本書很少提到牛頓力學(xué)體系。事實(shí)上，到后面的哈密頓力學(xué)中，動(dòng)量和坐標(biāo)一樣稱為了獨(dú)立變量。方程數(shù)量更多，階數(shù)降了一階，這種思路完全不同于牛頓體系。

4 總結(jié)

分析力學(xué)的最小作用量原理、光學(xué)的費(fèi)馬原理、最速降線問(wèn)題，背后是非常相似的數(shù)學(xué)模型。這一系列問(wèn)題中的變分操作不同于以往的力學(xué)問(wèn)題，給我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)物理學(xué)提供了新思路。

事實(shí)上，有了量子力學(xué)，我們發(fā)現(xiàn)動(dòng)量似乎可以是和坐標(biāo)一樣的獨(dú)立變量，這意味著不像牛頓體系那樣， $p_x%20%3D%20m%20%5Cdot%20x$ ，動(dòng)量完全由坐標(biāo)決定；動(dòng)量和坐標(biāo)其實(shí)是受不確定性關(guān)系的制約 $%5CDelta%20x%20%5Ccdot%20%5CDelta%20p%20%5Cgeq%20%5Chbar%2F2$ 。