三角函數(shù)

一.三角函數(shù)的定義

補充：1.如果點A坐標為（sinx,cosx）那么我們可以認為A在單位圓上運動（單位圓的定義）

2.如果角x∈(0，π/2),那么tanx>x>sinx（導數(shù)部分也有介紹）

證明如下

例題1（2022甲卷）

可以發(fā)現(xiàn)c/b是正切，可以使用上面的不等式

a,b大小比較直接構(gòu)造函數(shù)，隨后利用導數(shù)性質(zhì)求證大小關系

二.同角三角函數(shù)基本關系

2. （sinα+cosα）2=1+sin2α

（sinα-cosα）2=1-sin2α

（sinα+cosα）2+（sinα-cosα）2=2

3.sin與cos的齊次分式化tan

若題目已知tan或者出現(xiàn)sin與cos的一次齊次分式，都可以采用弦化切

若對于例題2，3這種看似不存在齊次的分式，我們可以利用1=sinx2+cosx2進行1的轉(zhuǎn)化

四.誘導公式

核心：奇變偶不變，符號看象限

①奇變偶不變：看π/2的系數(shù)，若為奇數(shù)就變?nèi)呛瘮?shù)符號，偶數(shù)則不變

②符號看象限：看變化前的三角函數(shù)是正是負

例子：sin（x-3/2π）=cosx

例題

不難發(fā)現(xiàn)等式中有許多角互余，因此我們可以利用互余角sin與cos的呼喚得到sinx2+cosx2=1的等式，進而求出答案

五.三角恒等變換

統(tǒng)一思想

角度之間的特殊關系

1.30°，60°，90°，180°，270°，360°，二倍關系等（注意：如果有兩個角看似滿足二倍關系，但也要注意其加和是否滿足30,60等特殊度數(shù)）

典型特征總結(jié)

六.Asin（ωx+φ）+B的運用

1.利用代數(shù)式進行化簡

核心：拆，降，合

2.利用圖像進行化簡

A：利用此函數(shù)的最小值和最大值進行求解，即m-n/2

φ：只要有最值點，帶入最值點計算

B:m+n/2

ω：利用週期公式計算即可

例題

題目可知3/4T=3/4π，即可以算出ω=2

求φ則一定要帶入x=13/12π的對應點計算

例題2

由於這道題最值點未知，因此我們只能使用零點來列方程，即f（-4/9π）=0

由於本函數(shù)的一個週期T小於π-（-9/4π）因此我們可以得到一個關於週期的不等關係，同理也可以根據(jù)負半軸得到另一個關於T的不等關係

七.平移與伸縮

例題

八.條件翻譯

例題

例題2

翻譯條件

1.函數(shù)在[π/6,π/2]單調(diào)遞減：T/2≥π/3

2.連等式：前兩個等式可以知道對稱軸，即x=7/12π；第一個與第三個函數(shù)值相等：可以得到對稱中心(π/3,0)

九.整體換元法

核心思想：將括號內(nèi)的等式設為一個字母t（但要注意x前面的係數(shù)大於0）

例題1,2

十.非標準結(jié)構(gòu)的三角函數(shù)

例題1

例題2（含絕對值）

含絕對值的函數(shù)題目解法：①分類②畫圖