命題3.33：

可在已知線段上作一弓形，使其所對的圓周角等于已知角

已知：線段AB，∠C

求：在AB上作一弓形，使其所對圓周角等于∠C

當∠C是銳角時

解：

在AB上以點A為頂點作∠BAD=∠C

（命題1.23）

過點A作AE⊥AD

（命題1.11）

取AB中點F

（命題1.10）

過點F作FG⊥AB，與AE交點記為點G

（命題1.12）

連接BG

（公設(shè)1.1）

∵FG⊥AB

（已知）

∴∟BFG=∟AFG

（定義1.10）

∵AF=BF，F(xiàn)G公用

（已知）

∴△AFG≌△BFG，AG=BG

（命題1.14）

以點G為圓心，以AG或BG為半徑作圓ABE

（公設(shè)1.3）

連接BE

（公設(shè)1.1）

求證：∠AEB=∠C

證：
∵AE⊥AD

（已知）

∴AD切圓ABE于點A

（命題3.16推論）

∴∠BAD=∠AEB

（命題3.32）

∵∠BAD=∠C

（已知）

∴∠AEB=∠C

（公理1.1）

當∠C是直角時

解：

在AB上以點A為頂點作∠BAD=∠C

（命題1.23）

取AB中點F

（命題1.10）

以點F為圓心，以AF或BF為半徑作圓ABE

（公設(shè)1.3）

連接AE，BE

（公設(shè)1.1）

求證：∠AEB=∠C

證：

∵∠BAD=∠C，∠C是直角

（已知）

∴∠BAD是直角

（定義1.10）

∴AB⊥AD

（定義1.10）

∴AD切圓ABE于點A

（命題3.16推論）

∴∠BAD=∠AEB

（命題3.32）

∵∠BAD=∠C

（已知）

∴∠AEB=∠C

（公理1.1）

當∠C是鈍角時

解：
在AB上以點A為頂點作∠BAD=∠C

（命題1.23）

過點A作AE⊥AD

（命題1.11）

取AB中點F

（命題1.10）

過點F作FG⊥AB，與AE交點記為點G

（命題1.12）

連接BG

（公設(shè)1.1）

∵FG⊥AB

（已知）

∴∟BFG=∟AFG

（定義1.10）

∵AF=BF，F(xiàn)G公用

（已知）

∴△AFG≌△BFG，AG=BG

（命題1.14）

以點G為圓心，以AG或BG為半徑作圓ABE

（公設(shè)1.3）

求證：∠AHB=∠C

證：
∵AE⊥AD

（已知）

∴AD切圓ABE于點A

（命題3.16推論）

∴∠BAD=∠AHB

（命題3.32）

∵∠BAD=∠C

（已知）

∴∠AHB=∠C

（公理1.1）

證畢

此命題在《幾何原本》中再未被使用

來都來了，點個關(guān)注唄！