這篇專欄是對上一篇內(nèi)容的補(bǔ)充

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上一個(gè)專欄介紹了求含參曲線族包絡(luò)線的兩種思想:方程思想和控制變量思想。若將這兩種思想結(jié)合，則可以證明求包絡(luò)線的一般方法:令對參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)=0，并將此等式與曲線聯(lián)立消去參數(shù)即得包絡(luò)線。

下面給出簡單解釋。

設(shè)曲線解析式為f(x,y,θ)=0,其中θ為參數(shù)

取一點(diǎn)P(x?,y?)，代入曲線方程得:

f(x?,y?,θ)=0

此時(shí)上式為關(guān)于θ的方程。

若該方程有實(shí)數(shù)解，則該點(diǎn)P位于包絡(luò)區(qū)域內(nèi)，反之則在包絡(luò)區(qū)域外。

此時(shí)我們將問題轉(zhuǎn)化成了方程f(x?,y?,θ)=0有無實(shí)數(shù)解來處理。

不妨令其為以θ為自變量，x?,y?為參變量的函數(shù)g(θ),問題又可以轉(zhuǎn)化為g(θ)有無零點(diǎn)來處理。(這里可以理解為所謂的“主元法”，以θ為主元，其實(shí)也就是控制變量的思想?yún)⑴c其中了)

那么我們只需要看g(θ)的值域是否包含0。

不妨回顧下上一章的例子。

求偏導(dǎo)的緣由便可以用如上的等效框架去解釋了

而這兩題在上一章又分別采用另外的方法解決，分別是二次函數(shù)判別式法和三角函數(shù)輔助角公式。其實(shí)這兩個(gè)方法只是在上圖框架中的轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題后處理零點(diǎn)問題的第二條路。最終目的都是一樣:求出值域。

而求值域的其中一個(gè)方法就是求導(dǎo)判斷單調(diào)性、找極值點(diǎn)來處理。

因此，對原式變量θ求偏導(dǎo)求出的其實(shí)就是g'(θ),另其=0便可求出g(θ)的極值點(diǎn)，設(shè)其為θ?(θ?是用x?和y?來表示的，因?yàn)榍懊嫖覀円呀?jīng)取定了一個(gè)點(diǎn)P,這兩者可視為常數(shù)，這里對應(yīng)的就是消參的步驟)，將θ?回代即得g(θ?)=0。而又∵g'(θ?)=0，故此時(shí)函數(shù)g(θ)與θ軸(自變量軸)相切

相切恰好是相交和相離的邊界，微調(diào)θ使得g(θ)稍微大或小一點(diǎn)點(diǎn)，則會(huì)使函數(shù)g(θ)變?yōu)榕cθ軸相交或相離，故此時(shí)可作為零點(diǎn)個(gè)數(shù)的分界點(diǎn)。

當(dāng)然了，這是不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明方法，只是大概說明了有這么個(gè)理。嚴(yán)格的證明建議還是去看書。[逃~]

讓我們再舉一例來練習(xí)練習(xí)。

注明一下，上圖中cosθ=3√(x/L),sinθ=3√(y/L)，再代入sin2θ+cos2θ=1即得x,y關(guān)系式

最后，以自己布置的一道微積分小題結(jié)束本次專欄。上一章提到的拋體運(yùn)動(dòng)的包絡(luò)線，若拓展到三維中包絡(luò)線就成了包絡(luò)面，將拋物線和包絡(luò)線繞z軸旋轉(zhuǎn)即得。

ps:圖片來源:BV1234y1o7jp

小試牛刀一波旋轉(zhuǎn)曲面方程的求法以及旋轉(zhuǎn)體的定積分求法