首先看抽樣信號(hào)的頻譜：

因此，抽樣信號(hào)的頻譜由于抽樣沖擊序列頻譜的周期性，而被周期拓展了。

上圖清晰地表明了一個(gè)時(shí)域連續(xù)信號(hào)被抽樣離散以后，其頻譜是如何獲得了周期拓展這個(gè)過程的。

下面看看頻域離散是如何對(duì)應(yīng)時(shí)域周期的：

上圖可以和下圖的DTFT對(duì)比：

顯然，圖1表示在區(qū)間［0, 2π］上對(duì)x(n)的傅里葉變換X(ejω)的N點(diǎn)等間隔采樣。將X(k)看做長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列xN(n)的DFT，即

下面推導(dǎo)序列xN(n)與原序列x(n)之間的關(guān)系，并導(dǎo)出頻域采樣定理：

將圖1代入上式得到：

由于圖1可以表示由已知頻譜x(k)倒推時(shí)域信號(hào)x(n),因此上圖的推導(dǎo)過程中，我們可以認(rèn)為是由已知的頻率采樣點(diǎn)得出的離散時(shí)間序列x(m)與原序列x(n)存在周期關(guān)系

上圖說明，X(z)在單位圓上的N點(diǎn)等間隔采樣X(k)的N點(diǎn)IDFT是原序列x(n)以N為周期的周期延拓序列的主值序列。綜上所述，可以總結(jié)出頻域采樣定理：

上述推導(dǎo)應(yīng)用了如下定理：

如果序列x(n)的長(zhǎng)度為M，則只有當(dāng)頻域采樣點(diǎn)數(shù)N≥M時(shí)，才有

xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)

即可由頻域采樣X(k)恢復(fù)原序列x(n)，否則產(chǎn)生時(shí)域混疊現(xiàn)象。

上述頻域離散導(dǎo)致時(shí)域信號(hào)周期性的原因其實(shí)就在于

這個(gè)單位圓等間隔取樣函數(shù)的周期性引起的必然結(jié)果。

因此：

1：時(shí)域離散導(dǎo)致頻域周期的原因在于沖擊采樣序列函數(shù)的頻域周期性。

2：頻域離散導(dǎo)致時(shí)域周期的原因在于單位圓等間隔采樣函數(shù)的周期性。