二階常系數(shù)線性微分方程解
前言
? ? ? ??由于經(jīng)常計算電路響應(yīng)，其電路模型經(jīng)常出現(xiàn)二階常系數(shù)線性微分方程（下文簡稱“二階微分方程”或“微分方程”）。為減少重復(fù)工作，此處給出微分方程解析解，有實際問題時按需代入具體數(shù)值取結(jié)果即可。
微分方程解
1-微分方程
? ? ? ??對于二階彈簧阻尼振蕩系統(tǒng)，或者LRC振蕩電路，可列出其微分方程：
? ? ? ??為了便于后文計算，此處定義一些符號：
? ? ? ??由此，對二階微分方程簡化，并求出其拉普拉斯變換。其中y(0)為初始值，y'(0)為導(dǎo)數(shù)初始值：
2-零輸入響應(yīng)
? ? ? ??計算零輸入響應(yīng)時，令f(t)=0：
3-零狀態(tài)響應(yīng)——沖激響應(yīng)
? ? ? ??令y(0)=0和y'(0)=0，輸入f(t)為單位沖激信號時：
4-零狀態(tài)響應(yīng)——階躍響應(yīng)
? ? ? ??令y(0)=0和y'(0)=0，輸入f(t)為單位階躍信號時：
? ? ? ??注：式子的簡化是“有損”操作（arctan），即丟失了一些信息。所以簡化式只在滿足一定條件下使用，故保留簡化前原式子。
5-階躍響應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)
? ? ? ??階躍響應(yīng)中有幾個關(guān)鍵參數(shù)，其中有：
1、上升時間tr，曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需的時間；
2、峰值時間tm，曲線超過穩(wěn)態(tài)值并達(dá)到第一個峰值的時間；
3、調(diào)節(jié)時間ts，曲線進入穩(wěn)態(tài)值±2%區(qū)間的時間；
4、超調(diào)量Ov，曲線最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之比（%）。
? ?? ? ?注：使用約等于號「≈」的式子是計算機迭代求解+回歸分析得出的，非精確解。
6-零狀態(tài)響應(yīng)——正弦響應(yīng)
? ? ? ??令y(0)=0和y'(0)=0，輸入f(t)為單位正弦信號時：
7-零狀態(tài)響應(yīng)——余弦響應(yīng)
???? ? ?令y(0)=0和y'(0)=0，輸入f(t)為單位余弦信號時：
8-正/余弦阻尼振蕩響應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)
???? ? ?阻尼振蕩響應(yīng)有幾個關(guān)鍵參數(shù)，其中有：
1、穩(wěn)態(tài)振幅Amp；
2、穩(wěn)態(tài)相角Angle；
3、共振振幅Amp_r；
4、共振頻率ωr。
9-全響應(yīng)
? ? ? ??全響應(yīng)為「零輸入響應(yīng)」+「零狀態(tài)響應(yīng)」。零輸入響應(yīng)為系統(tǒng)在原有的初始能量下自然響應(yīng)，也叫齊次響應(yīng)；零狀態(tài)響應(yīng)為系統(tǒng)在零初始能量下，由外加的輸入引起的響應(yīng)，也叫強迫響應(yīng)。當(dāng)系統(tǒng)為線性系統(tǒng)時，全響應(yīng)則為兩者效果的疊加。隨著時間t推移，自然響應(yīng)會逐漸趨于0，只剩下強迫響應(yīng)（中的穩(wěn)定參數(shù)）。
微分方程的導(dǎo)數(shù)解
1-微分方程
? ? ? ??對于二階彈簧阻尼振蕩系統(tǒng)，或LRC振蕩電路，前文算出的微分方程解一般代表「位移」或者「電荷」（位移隱含了力，電荷隱含了電壓，差了個系數(shù)）。對其解求一階導(dǎo)數(shù)后，解的物理意義發(fā)生變化，一般代表「速度」或者「電流」?，F(xiàn)在求解：
? ? ? ??同樣為了方便計算，定義以下符號：
? ? ? ??由此簡化二階微分方程，并求出其拉普拉斯變換：
? ? ? ??式子和之前的幾乎一樣，不過出現(xiàn)了新的初始值「y''(0)」。實際上，y''(0)的值是和y(0)有關(guān)聯(lián)的。通過以下計算就可得到，并重新整理拉普拉斯變換式：
2-零輸入響應(yīng)
? ? ? ??根據(jù)新的拉普拉斯變換式得出的式子，和之前的式子直接求導(dǎo)得出的是一樣的：
3-零狀態(tài)響應(yīng)——沖激響應(yīng)
? ? ? ??沖激響應(yīng)可以認(rèn)為“瞬間給予速度”，其式子幾乎與y'(0)=1的零輸入響應(yīng)一樣：
4-零狀態(tài)響應(yīng)——階躍響應(yīng)
? ? ? ??由于階躍信號的導(dǎo)數(shù)為沖激信號，所以“速度”的階躍響應(yīng)跟“位移”的沖激響應(yīng)式子完全一致：
5-零輸入響應(yīng)——正弦響應(yīng)
? ? ? ??由于正弦求導(dǎo)即為余弦，所以“速度”的正弦響應(yīng)與“位移”的余弦響應(yīng)相似。注意由于求導(dǎo)會產(chǎn)生頻率ω，兩者式子還是有區(qū)別：
6-零輸入響應(yīng)——余弦響應(yīng)
? ? ????余弦響應(yīng)求解跟前面三者不同，因為t=0時cos(0)=1，而前三者是=0。注意系統(tǒng)一般是因果系統(tǒng)，所以式子都是在t≥0時才有效，而在t<0時一律等于0。所以余弦在t=0的位置是個間斷點，是突然加載到系統(tǒng)的，其【完整】的表達(dá)式為f(t)=cos(ωt)*u(t)，對f(t)求導(dǎo)后，除了cos(ωt)求導(dǎo)產(chǎn)生的-ωsin(ωt)項外，還會帶上一個沖激函數(shù)δ(t)，即余弦響應(yīng)為正弦響應(yīng)的-ω倍再加上一個沖激響應(yīng)：
7-正/余弦阻尼振蕩響應(yīng)關(guān)鍵參數(shù)
????阻尼振蕩的“速度”響應(yīng)與“位移”響應(yīng)有一點不同，同樣計算這幾個關(guān)鍵參數(shù)：
1、穩(wěn)態(tài)振幅Amp；
2、穩(wěn)態(tài)相角Angle；
3、共振振幅Amp_r；
4、共振頻率ωr。
? ? ? ??可以發(fā)現(xiàn)，“速度”共振頻率與“位移”共振頻率不一樣?！八俣取惫舱竦淖畲笾悼傇诠逃蓄l率ωn上，而“位移”共振頻率比ωn偏低，并且ζ小于0.707后才會出現(xiàn)。
微分方程解函數(shù)圖像
? ? ? ??此處給出部分微分方程解函數(shù)，ωn=1、ω=2，ζ取不同值畫在同一坐標(biāo)系中，已標(biāo)注圖例。畫圖軟件：MATLAB。
微分方程Simulink模型
???? ? ?此內(nèi)容適用于計算機仿真，非手算。
? ? ? ??由于計算機適合做積分，所以把微分方程式子調(diào)整下（注：a1已隱含在f(t)中），即可得：
? ? ? ??根據(jù)公式即可搭出仿真模型：
后記
? ? ? ? 文中的公式大部分手算推出，總計耗費25張A4草稿紙以及2個星期的時間，并使用計算機軟件「GeoGebra」、「MATLAB」、「Excel」進行正確性檢驗（以及一些方程的回歸分析）。本人盡力保證公式正確，但難免百密一疏，若讀者發(fā)現(xiàn)錯誤，歡迎指出錯誤之處。（完）
by HD-nuke8800
2022/4/7
附錄
? ? ? ??以下為MATLAB繪制函數(shù)圖像代碼：
1、微分方程解「
」
2、微分方程導(dǎo)數(shù)解「
」
3、繪制函數(shù)圖「
」
