2 世紀(jì)之交的法國數(shù)學(xué)領(lǐng)袖——龐加萊

　　19世紀(jì)前期的法國，柯西是無可爭辯的數(shù)學(xué)領(lǐng)袖. 1857年柯西去世之后，世界數(shù)學(xué)中心漸漸向德國轉(zhuǎn)移.數(shù)學(xué)天平逐漸向德國傾斜是和19世紀(jì)末的德國社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展相關(guān)的.以下是19世紀(jì)下半葉各主要工業(yè)國家工業(yè)產(chǎn)值由高到低的排名：

60年代 英,法,美,德

70年代 英,美,法,德

80年代 英,美,德,法

90年代 美,德,英,法

盡管工業(yè)產(chǎn)值和數(shù)學(xué)發(fā)展不見得成正比，但是也不能說毫無關(guān)系.

　　然而，在世紀(jì)之交，世界數(shù)學(xué)界仍然是法德爭雄的格局. 法國數(shù)學(xué)仍然有許多驕人的成績,埃爾米特(Charles Hermite, 1822~1901)、若爾當(dāng)(Camille Jordan, 1838~1922) 以及達(dá)布(Jean-Gaston Darboux, 1842~1917)等是主要的代表人物.待到龐加萊(Jules Henri Poincare, 1854~1912)出現(xiàn)在法國數(shù)壇,就很快成為世界性的領(lǐng)袖人物.巴黎高等師范學(xué)校和巴黎綜合工科學(xué)校仍然是世界數(shù)學(xué)家的搖籃.

　　埃爾米特畢業(yè)于巴黎綜合工科學(xué)校. 1862年進(jìn)入該校任講師，1867年升任教授. 他的早年工作涉及橢圓函數(shù)論. 以后的著名工作是證明了e的超越性，這使他享有分析學(xué)家的聲譽(yù)，但就他對(duì)后世的影響而言，還是關(guān)于復(fù)二次型的工作最為重要. 在物理學(xué)、幾何學(xué)、算子理論中，埃爾米特已成為復(fù)共軛、復(fù)對(duì)稱的代名詞.

　　若爾當(dāng)也是巴黎綜合工科學(xué)校的學(xué)生，一直以工程師的身份做數(shù)學(xué)研究，同時(shí)在巴黎綜合工科學(xué)校和法蘭西學(xué)院任教. 1881年成為法蘭西科學(xué)院院士.他作為代數(shù)學(xué)家，首先關(guān)注伽羅瓦的群論，成為第一個(gè)在伽羅瓦基礎(chǔ)上做系統(tǒng)研究的數(shù)學(xué)家，也是使伽羅瓦理論通俗化的先驅(qū).他在群和群表示理論上的開創(chuàng)性工作，是日后代數(shù)發(fā)展的起點(diǎn). 1870年，克萊因和索福斯·李一起來到巴黎，和若爾當(dāng)一起研究三維空間中所有運(yùn)動(dòng)群的確定，顯然這是連續(xù)群研究的先聲. 今天，若爾當(dāng)?shù)拿指嗟睾头治鰧W(xué)中的若爾當(dāng)曲線、矩陣論中的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型、積分論中的若爾當(dāng)容量聯(lián)系在一起.

　達(dá)布則是在巴黎高等師范學(xué)校完成學(xué)業(yè)，并在該校任教的數(shù)學(xué)家.他的主要工作領(lǐng)域是微分幾何. 他詳細(xì)研究曲面理論、曲線坐標(biāo)、曲線和曲面的變形等基本問題. 他所著的《曲面通論教程》是一部研究力學(xué)、變分法、偏微分方程、極值原理等學(xué)科的工具書，他對(duì)這些學(xué)科之間的內(nèi)部聯(lián)系有著非常深入而透徹的理解，成為一時(shí)的經(jīng)典. 同樣，達(dá)布的影響不限于幾何. 他在積分論中研究黎曼可積的充分必要條件，給出的現(xiàn)在稱為上和、下和、上積分、下積分、達(dá)布和等概念，已經(jīng)成為一種經(jīng)典的理論.

　　綜合以上的介紹，我們可以感覺到19世紀(jì)末期法國數(shù)學(xué)的氣息：更著重于經(jīng)典問題的深入刻畫，注意幾何、分析上的嚴(yán)密化，解決一些懸而未決的問題.相對(duì)于德國學(xué)派的工作，如克萊因的埃爾朗根綱領(lǐng)、康托爾的集合論、索福斯·李的連續(xù)群論、庫默爾的代數(shù)數(shù)論等新方向、新思想的開拓，法國數(shù)學(xué)的發(fā)展似乎過分拘謹(jǐn)了.但是，龐加萊的出現(xiàn)，使法國數(shù)學(xué)出現(xiàn)了新的轉(zhuǎn)機(jī).

　　龐加萊誕生于法國的南錫(Nancy，這是法國科學(xué)精英的薈萃之地)，家族顯赫. 父親是一位生理學(xué)家，叔父是國家官員.堂弟雷蒙·龐加萊(Raymond Poincare)曾出任總理兼外交部長,1913~1920年間，是法蘭西第三共和國的第九任總統(tǒng).

　　龐加萊的童年生活很不幸.5歲患白喉，運(yùn)動(dòng)神經(jīng)功能不協(xié)調(diào).他平時(shí)行動(dòng)笨拙，物理實(shí)驗(yàn)做不好是出了名的. 他視力不好，上課看不清黑板上的字，全憑耳朵聽，常常顯得心不在焉. 不過，這種記憶力的訓(xùn)練，使他以后能在頭腦里完成數(shù)學(xué)計(jì)算和迅速撰寫論文.他15歲進(jìn)入巴黎綜合工科學(xué)校，打算做一名工程師，但一有空就研究數(shù)學(xué). 1878年，他向法蘭西科學(xué)院提交有關(guān)《微分方程一般解》的論文，次年即獲得科學(xué)博士學(xué)位. 兩年后的1880年，龐加萊成為巴黎大學(xué)教授，講授力學(xué)和實(shí)驗(yàn)物理課程.此后的幾十年，他一直在巴黎度過.

　　龐加萊一生寫了約500 篇論文和30部著作，這還不包括他所寫的暢銷科普作品和哲學(xué)名著.由于他的杰出成就，龐加萊幾乎贏得了法國政府所能給予科學(xué)家的一切榮譽(yù). 在33歲那年，他被選為法蘭西科學(xué)院院士，1906年任法蘭西科學(xué)院院長，1908年， 當(dāng)選為法蘭西語文學(xué)院院士.由于他的通俗文章的文筆非常優(yōu)美，甚至獲得了法國作家中的最高榮譽(yù)?法國文學(xué)會(huì)會(huì)員.

　　數(shù)學(xué)史家評(píng)論說，龐加萊是一位科學(xué)的征服者，而不是殖民者.確實(shí)，他從不在自己開拓的領(lǐng)域內(nèi)長期停留，而是繼續(xù)大踏步前進(jìn)，去征服更新的科學(xué)領(lǐng)域. 以下是一張由龐加萊開創(chuàng)的新領(lǐng)域的清單:

　　1.自守函數(shù)論.自守函數(shù)是通常三角函數(shù)、橢圓函數(shù)的推廣.它的引入，使得微分方程、代數(shù)幾何、代數(shù)數(shù)論找到了新的立足點(diǎn).

　　2.整函數(shù)的“虧數(shù)”理論. 他第一個(gè)研究整函數(shù)“虧數(shù)”和函數(shù)值增長的關(guān)系，為以后的整函數(shù)與亞純函數(shù)理論打開了道路.

　　3.有理數(shù)域上的代數(shù)幾何學(xué). 1901年的一篇論文開創(chuàng)了代數(shù)方程有理數(shù)解的研究，成為代數(shù)數(shù)論的一項(xiàng)原發(fā)性工作.

　　4.微分方程的定性理論. 這門嶄新學(xué)科研究微分方程解在奇點(diǎn)附近的性態(tài)，根據(jù)極限環(huán)的情況可以判斷解的穩(wěn)定性.

? ? ? ?5. 動(dòng)力系統(tǒng)理論. 開創(chuàng)動(dòng)力系統(tǒng)理論研究，完成了現(xiàn)在稱為“龐加萊回歸定理”的工作.

　　6.三體問題.在三體中兩個(gè)物體的質(zhì)量比另一個(gè)小得多的情況下，得到三體問題的周期解.引進(jìn)漸近展開的方法，得出嚴(yán)格的天體力學(xué)計(jì)算方法.

　　7.組合拓?fù)鋵W(xué)，即“位置分析”.龐加萊引入流形的三角剖分、單純形、復(fù)合形、關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣等一系列新工具，以及貝蒂(Betti)數(shù)、撓系數(shù)、同調(diào)群等一系列新概念，證明了流形的同調(diào)對(duì)偶定理.這是同調(diào)論的開端.此外，又定義流形的同倫群，現(xiàn)稱為龐加萊群.在20世紀(jì)獲得長足發(fā)展的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)完全是按照龐加萊的思想展開的.

? ? ? ? ?8.對(duì)狹義相對(duì)論的創(chuàng)立有獨(dú)到的貢獻(xiàn).

　　除了這些開拓新領(lǐng)域的工作以外，龐加萊還有許多原創(chuàng)性的成果，對(duì)多復(fù)變函數(shù)論、李群、李代數(shù)、狄利克雷問題、拉普拉斯算子特征值問題等的研究都有關(guān)鍵性的推進(jìn).

　　龐加萊的遠(yuǎn)見是令人欽佩的.他能夠理解索福斯·李的工作，并投入很高的研究熱情. 1899年用新的方法證明了索福斯·李的第三基本定理，引入李代數(shù)的包絡(luò)代數(shù)概念. 此外龐加萊也是最先認(rèn)識(shí)埃里·嘉當(dāng)(Elie Joseph Cartan, 1869~1951)工作的重要性的人.在世紀(jì)之交時(shí)，拓?fù)鋵W(xué)、李群、李代數(shù)以及嘉當(dāng)?shù)膸缀喂ぷ鬟€是冷門，少人問津，更為大多數(shù)以研究函數(shù)論等傳統(tǒng)分析為主的法國數(shù)學(xué)家所輕視. 但是，進(jìn)入20世紀(jì)之后，這些學(xué)科都大放異彩，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的核心部分.

　　龐加萊還有一批重要的哲學(xué)著作，如《科學(xué)與假設(shè)》(1902)、《科學(xué)的價(jià)值》(1905)、《科學(xué)與方法》(1909). 他是約定主義的代表人物，認(rèn)為科學(xué)公理是為了人們的表述方便而共同約定的. 約定可以選擇，但要有實(shí)驗(yàn)事實(shí)為根據(jù)，避免出現(xiàn)矛盾. 在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上持直覺主義觀點(diǎn)，反對(duì)羅素的邏輯主義、希爾伯特的形式主義，不承認(rèn)實(shí)無限，只認(rèn)可潛無限. 龐加萊主要是一個(gè)數(shù)學(xué)家，但或許在物理學(xué)和哲學(xué)上的工作更為一般人所知.關(guān)于他的哲學(xué)思想，列寧曾說他是“一位偉大的物理學(xué)家，渺小的哲學(xué)家”.[2]

　　盡管龐加萊獲得了最高的學(xué)術(shù)榮譽(yù)，也受到科學(xué)界的高度贊揚(yáng)，但是一些傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)家并不完全支持他.分形幾何學(xué)的創(chuàng)始人芒德布羅(Benoit B. Mandelbrot: 1924~ )在 1994年的一篇文章中這樣提到龐加萊：

　　“在最近發(fā)表的埃爾米特(龐加萊的導(dǎo)師)給米塔格-列夫勒(Magnus Gustaf Mittag-Leffler, 1846~1927)的信中，埃爾米特常常抱怨龐加萊不聽好意的勸告，不修飾證明和不發(fā)表嚴(yán)格的證明.埃爾米特和皮卡(Charles EmilsPicard, 1856~1941, 龐加萊后來的導(dǎo)師)認(rèn)為龐加萊是不可救藥的，于是就不讓龐加萊教數(shù)學(xué)，只讓他教數(shù)學(xué)物理、天文學(xué). 在龐加萊發(fā)表的演講錄中包括基礎(chǔ)光學(xué)、熱動(dòng)力學(xué)、電磁學(xué)——二年級(jí)或三年級(jí)的理論物理課.龐加菜在1895年發(fā)表的《位置分析》(今稱拓?fù)鋵W(xué))，在相當(dāng)一個(gè)時(shí)期內(nèi)被認(rèn)為是‘死胡同’.”[3]

　　作為直覺主義者的龐加萊，在發(fā)表論著時(shí)也許沒有達(dá)到當(dāng)時(shí)某些數(shù)學(xué)家所要求的嚴(yán)密性. 但是，歷史證明，龐加萊做得是對(duì)的.如果為了追求不十分必要的嚴(yán)密性，而把重要的拓?fù)鋵W(xué)思想丟棄在字紙簍里，那對(duì)數(shù)學(xué)的進(jìn)展將是多大的損失！

參考文獻(xiàn)

[1] Dieudonne J. Poincare. In: Gillispie C C. Dictionary of ScientificBiography. New York: Charles Scribner's Sons Publishes, 1981

[2]列寧.唯物主義和經(jīng)驗(yàn)批判主義.見：列寧選集(第二卷). 第二版.北京:人民出版社, 1972. 166

[3] Mandelbro t B. Response to “Theoretical Mathematics”. Bul-letin of AMS, 1994. 30(2): 195