Kira | 3-1 泰勒公式

1??泰勒公式的推導

任務：確定系數a?

確保：f(x)和多項式函數Pn(x)在x?的函數值，直到n階導數值相等.

f(x) =f(x?) +一階導/一階乘 *差值1 +二階導/二階乘 *差值2 +n階導/n階乘*差值?

2??泰勒公式的理解

泰勒中值定理1

泰勒中值定理2

f(x)在包含x的區(qū)間(a,b)內有直到n+1階的導數，在(a,b)展開拉格朗日余項的泰勒公式，要展到n階，剩下一階給余項，余項展到n+1階

Kira點睛

兩個泰勒中值定理的主要區(qū)別如下：

（1）成立條件不同，中值定理2對f(x)的可導性要求更高.

（2）x的取值范圍不同，中值定理1需滿足x→x?，僅適用于求極限問題，而中值定理2中x可在符合條件的區(qū)間[a,b]上任取，甚至能取到任意實數，因此中值定理2更廣泛地適用于證明題和近似計算問題.

（3）余項R?(x)形式不同，佩亞諾余項便于求極限，而拉格朗日余項能具體估算近似誤差的大小.

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x?=0：麥克勞林公示

4??泰勒公式的核心考點

• 帶有拉格朗日余項的二階泰勒公式：展到二階，第三階給余項
• 第一步：寫泰勒公式
• 第二步：求導
• 第三步：代入

• 間接法用已經背過的麥克勞林公式寫
• 乘過去，注意到n階就結束了
• 注意別忘寫：ξ在1與x之間

• 推薦間接法，里面的內容找已經背過的公式

• 按(x-2)的冪展開 =x?=2?
• 未知的f(x)要往背過的公式靠攏
• 最后變變形

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