工程問題

列方程解應(yīng)用題是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，其核心思想就是將等量關(guān)系從情景中剝離出來，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成方程或方程組， 從而解決問題。

● 列方程解應(yīng)用題的一般步驟（解題思路）

（1）審——審題：認(rèn)真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關(guān)系（找出等量關(guān)系）

（2）設(shè)——設(shè)出未知數(shù)：根據(jù)提問，巧設(shè)未知數(shù)

（3）列——列出方程：設(shè)出未知數(shù)后，表示出有關(guān) 的含字母的式子，然后利用已找出的等量關(guān)系列出方程

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知數(shù)的值

（5）答——檢驗(yàn)，寫答案：檢驗(yàn)所求出的未知數(shù)的值是否是方程的解，是否符合實(shí)際，檢驗(yàn)后寫出答案．（注意帶上單位）

● 典例探究

【例1】將一批數(shù)據(jù)輸入電腦，甲獨(dú)做需要50分鐘完成，乙獨(dú)做需要30分鐘完成，現(xiàn)在甲獨(dú)做30分鐘，剩下的部分由甲、乙合做，問甲、乙兩人合做的時(shí)間是多少？

【解析】首先設(shè)甲乙合作的時(shí)間是x分鐘，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：甲工作（30+x）分鐘的工作量+乙工作x分鐘的工作量=1，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程，再解方程即可。

設(shè)甲乙合作的時(shí)間是x分鐘，由題意得：

● 方法突破

工程問題是典型的a=bc型數(shù)量關(guān)系，可以知二求一，三個(gè)基本量及其關(guān)系為：

工作總量＝工作效率×工作時(shí)間

需要注意的是：工作總量往往在題目條件中并不會(huì)直接給出，我們可以設(shè)工作總量為單位1。

比賽計(jì)分問題

● 典例探究

【例1】某企業(yè)對(duì)應(yīng)聘人員進(jìn)行英語考試，試題由50道選擇題組成，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：每道題的答案選對(duì)得3分，不選得0分，選錯(cuò)倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個(gè)人選錯(cuò)了 道題。

【解析】設(shè)這個(gè)人選對(duì)了x道題目，則選錯(cuò)了(45-x)道題，于是3x-（45-x）=1034x=148解得：x=37則：45-x=8答：這個(gè)人選錯(cuò)了8道題.

【例2】某校高一年級(jí)有12個(gè)班．在學(xué)校組織的高一年級(jí)籃球比賽中，規(guī)定每兩個(gè)班之間只進(jìn)行一場比賽，每場比賽都要分出勝負(fù)，每班勝一場得2分，負(fù)一場得1分．某班要想在全部比賽中得18分，那么這個(gè)班的勝負(fù)場數(shù)應(yīng)分別是多少？

【解析】因?yàn)楣灿?2個(gè)班，且規(guī)定每兩個(gè)班之間只進(jìn)行一場比賽，所以這個(gè)班應(yīng)該比賽11場，設(shè)勝了x場，那么負(fù)了（11-x）場，根據(jù)得分為18分可列方程求解。

設(shè)勝了x場，那么負(fù)了（11-x）場．

2x+1?（11-x）=18

x=7

11-7=4

那么這個(gè)班的勝負(fù)場數(shù)應(yīng)分別是7和4．

● 方法突破

比賽積分問題的關(guān)鍵是要了解比賽的積分規(guī)則，規(guī)則不同，積分方式不同，常見的數(shù)量關(guān)系有：

每隊(duì)的勝場數(shù)＋負(fù)場數(shù)+平場數(shù)＝這個(gè)隊(duì)比賽場次;

得分總數(shù)+失分總數(shù)＝總積分;

失分常用負(fù)數(shù)表示，有些時(shí)候平場不計(jì)分，另外如果設(shè)場數(shù)或者題數(shù)為x，那么x最后的取值必須為正整數(shù)。

順逆流（風(fēng)）問題

● 典例探究

【例1】某輪船的靜水速度為v千米/時(shí)，水流速度為m千米/時(shí)，則這艘輪船在兩碼頭間往返一次順流與逆流的時(shí)間比是（ ）

● 方法突破

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜水速）不變的特點(diǎn)考慮相等關(guān)系．即順?biāo)嫠畣栴}常用等量關(guān)系：順?biāo)烦?逆水路程．

順?biāo)L(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度＋水流（風(fēng)）速度

逆水（風(fēng)）速度＝靜水（風(fēng)）速度－水流（風(fēng)）速度

水流速度=(順?biāo)俣?逆水速度）÷2

調(diào)配問題

● 典例探究

【例1】某廠一車間有64人，二車間有56人．現(xiàn)因工作需要，要求第一車間人數(shù)是第二車間人數(shù)的一半．問需從第一車間調(diào)多少人到第二車間？

【解析】如果設(shè)從一車間調(diào)出的人數(shù)為x，那么有如下數(shù)量關(guān)系

原有人數(shù)現(xiàn)有人數(shù)一車間6464-x二車間5656+x

設(shè)需從第一車間調(diào)x人到第二車間，根據(jù)題意得：

2（64-x）=56+x，

解得x=24；

答：需從第一車間調(diào)24人到第二車間．

【例2】甲倉庫儲(chǔ)糧35噸 ，乙倉庫儲(chǔ)糧19噸，現(xiàn)調(diào)糧食15噸，應(yīng)分配給兩倉庫各多少噸，才能使得甲倉庫的糧食數(shù)量是乙倉庫的兩倍？

【解析】若設(shè)應(yīng)分給甲倉庫糧食X噸，則數(shù)量關(guān)系如下表

連比條件巧設(shè)x

● 典例探究

【例1】一個(gè)三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長。

【解析】設(shè)三邊長分別為2x，3x，4x，根據(jù)周長為36cm，可得出方程，解出即可。

設(shè)三邊長分別為2x，3x，4x，

由題意得，2x+3x+4x=36，

解得：x=4．

故三邊長為：8cm，12cm，16cm．

【例2 】三個(gè)數(shù)的比是5：12：13，這三個(gè)數(shù)的和為180，則最大數(shù)比最小數(shù)大（ ）

A．48

B．42

C．36

D．30

【解析】此題可設(shè)每一份為x，則三個(gè)數(shù)分別表示為5x、12x、13x，根據(jù)三個(gè)數(shù)的和為180，列方程求解即可。

設(shè)每一份為x，則三個(gè)數(shù)分別表示為5x、12x、13x，

依題意得：5x+12x+13x=180，

解得x=6

則5x=30，13x=78，78-30=48

故選A

● 方法突破

比例分配問題的一般思路為：設(shè)其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應(yīng)的代數(shù)式。

常用等量關(guān)系：各部分之和=總量。

配套問題

● 典例探究

【例1】包裝廠有工人42人，每個(gè)工人平均每小時(shí)可以生產(chǎn)圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個(gè)密封圓桶，問每天如何安排工人生產(chǎn)圓形和長方形鐵片能合理地將鐵片配套？

【解析】1.可設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為（42-x）人，根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個(gè)密封圓桶可列出關(guān)于x的方程，求解即可．設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，則生產(chǎn)圓形鐵片的人數(shù)為（42-x）人，由題意得：

120（42-x）=2×80x，

去括號(hào)，得5040-120x=160x，

移項(xiàng)、合并得280x=5040，

系數(shù)化為1，得x=18，

42-18=24（人）；

答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套。

2：若安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，根據(jù)共有42名工人，可知x+y=42.再根據(jù)兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程組求解。設(shè)安排x人生產(chǎn)長方形鐵片，y人生產(chǎn)圓形鐵片，則有

答：安排24人生產(chǎn)圓形鐵片，18人生產(chǎn)長方形鐵片能合理地將鐵片配套．

● 方法突破

日歷問題

● 典例探究

利潤及打折問題

● 典例探究

【例1】（2016?荊州）互聯(lián)網(wǎng)“微商”經(jīng)營已成為大眾創(chuàng)業(yè)新途徑，某微信平臺(tái)上一件商品標(biāo)價(jià)為200元，按標(biāo)價(jià)的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進(jìn)價(jià)為（ ）

A．120元 B．100元C．80元 D．60元

【解析】設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，根據(jù)“售價(jià)=進(jìn)價(jià)+利潤”即可列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．解：設(shè)該商品的進(jìn)價(jià)為x元/件，依題意得：（x+20）=200×0.5，解得：x=80．∴該商品的進(jìn)價(jià)為80元/件．[來源:Zxxk.Com]故選C．

【例2】（2015?長沙）長沙紅星大市場某種高端品牌的家用電器，若按標(biāo)價(jià)打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元，其利潤率為20%．現(xiàn)如果按同一標(biāo)價(jià)打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（ ）A． 562.5元B． 875元C． 550元D． 750元

【解析】由利潤率算出成本，設(shè)標(biāo)價(jià)為x元，則根據(jù)“按標(biāo)價(jià)打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元”可以得到x的值；然后計(jì)算打九折銷售該電器一件所獲得的利潤．解答：解：設(shè)標(biāo)價(jià)為x元，成本為y元，由利潤率定義得500÷y=20%，y=2500（元）．x×0.8﹣2500=500，解得：x=3750．則3750×0.9﹣2500=875（元）．故選：B．

● 方法突破

商品銷售額＝商品銷售價(jià)×商品銷售量商品的銷售總利潤＝（銷售價(jià)－成本價(jià)）× 銷售量單件商品利潤＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)＝商品標(biāo)價(jià)×折扣率－商品進(jìn)價(jià)

商品打幾折出售，就是按原標(biāo)價(jià)的十分之幾出售，即商品售價(jià)=商品標(biāo)價(jià)×折扣率

利率和增長率問題

● 典例探究

【例1】（2016?安徽）2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，2015年比2014年增長9.5%，若2013年和2015年我省財(cái)政收入分別為a億元和b億元，則a、b之間滿足的關(guān)系式為（ ）

A．b=a（1+8.9%+9.5%）B．b=a（1+8.9%×9.5%）C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）

【解析】根據(jù)2013年我省財(cái)政收入和2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，求出2014年我省財(cái)政收入，再根據(jù)出2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財(cái)政收為b億元，即可得出a、b之間的關(guān)系式．

解：∵2013年我省財(cái)政收入為a億元，2014年我省財(cái)政收入比2013年增長8.9%，

∴2014年我省財(cái)政收入為a（1+8.9%）億元，

∵2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財(cái)政收為b億元，

∴2015年我省財(cái)政收為b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；故選C．

【例2】小明去銀行存入本金1000元，作為一年期的定期儲(chǔ)蓄，到期后小明稅后共取了1018元，已知利息稅的利率為20%，則一年期儲(chǔ)蓄的利率為（ ）

A．2.25%B．4.5%

C．22.5%D．45%【解析】設(shè)一年期儲(chǔ)蓄的利率為x，根據(jù)稅后錢數(shù)列方程即可．

設(shè)一年期儲(chǔ)蓄的利率為x，根據(jù)題意列方程得：

1000+1000x（1-20%）=1018，

解得x=0.0225，

∴一年期儲(chǔ)蓄的利率為2.25%，故選A．

● 方法突破

方案選擇問題(1)

●?典例探究

【例1】某家電商場計(jì)劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進(jìn)50臺(tái)電視機(jī)．已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號(hào)的電視機(jī)，出廠價(jià)分別為A種每臺(tái)1500元，B種每臺(tái)2100元，C種每臺(tái)2500元．

（1）若家電商場同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)共50臺(tái)，用去9萬元，請(qǐng)你研究一下商場的進(jìn)貨方案．

（2）若商場銷售一臺(tái)A種電視機(jī)可獲利150元，銷售一臺(tái)B種電視機(jī)可獲利200元，銷售一臺(tái)C種電視機(jī)可獲利250元，在同時(shí)購進(jìn)兩種不同型號(hào)的電視機(jī)方案中，為了使銷售時(shí)獲利最多，你選擇哪種方案？

【解析】按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機(jī)這三種方案分別計(jì)算，設(shè)購A種電視機(jī)x臺(tái)，則B種電視機(jī)y臺(tái)．

（1）①當(dāng)選購A，B兩種電視機(jī)時(shí)，B種電視機(jī)購（50-x）臺(tái)，可得方程1500x+2100（50-x）=90000即5x+7（50-x）=300，2x=50，x=25，50-x=25

②當(dāng)選購A，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)購（50-x）臺(tái)，可得方程1500x+2500（50-x）=900003x+5（50-x）=180，x=35，50-x=15③當(dāng)購B，C兩種電視機(jī)時(shí)，C種電視機(jī)為（50-y）臺(tái)．可得方程??2100y+2500（50-y）=9000021y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機(jī)各25臺(tái)；二是購A種電視機(jī)35臺(tái)，C種電視機(jī)15臺(tái)．

（2）若選擇（1）中的方案①，可獲利150×25+200×25=8750（元）若選擇（1）中的方案②，可獲利150×35+250×15=9000（元）9000>8750。故為了獲利最多，選擇第二種方案．

● 方法突破

這類問題根據(jù)題意分別列出不同的方案的代數(shù)式，再通過計(jì)算比較結(jié)果，即可得到滿足題意的方案，需要注意的是要留意題目中的方案要求，常見的是要求利潤最大，但是有時(shí)也有要求消庫存最多或者最節(jié)約成本，要注意審題，不可犯慣性錯(cuò)誤。

方案選擇問題（2）

● 典例探究

【例1】某班準(zhǔn)備購置一些乒乓球和乒乓球拍，班主任李老師安排小明和小強(qiáng)分別到甲、乙兩家商店咨詢了同樣品牌的乒乓球和乒乓球拍的價(jià)格，下面是小明、小強(qiáng)和李老師的對(duì)話．

小明：甲商店乒乓球拍每副定價(jià)30元，乒乓球每盒定價(jià)5元，每買一副乒乓球拍可以贈(zèng)送一盒乒乓球．

小強(qiáng)：乙商店乒乓球和乒乓球拍的定價(jià)與甲商店一樣，但乙商店可以全部按定價(jià)的九折優(yōu)惠．

李老師：我們班需要乒乓球拍5副，乒乓球不少于5盒．

根據(jù)以上對(duì)話回答下列問題：

（1）當(dāng)購置的乒乓球?yàn)槎嗌俸袝r(shí)，甲、乙兩家商店所需費(fèi)用一樣多？

（2）若需要購置30盒乒乓球，你認(rèn)為到哪家商店購買更合算？（要求有計(jì)算過程）

【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)當(dāng)購買乒乓球x盒時(shí)，兩種優(yōu)惠辦法付款一樣，列出一元一次方程解答即可．

（2）求出當(dāng)購買30盒乒乓球時(shí)，甲、乙兩家商店各需要多少元，據(jù)此即可解答．

（1）設(shè)當(dāng)購買乒乓球x盒時(shí)，

甲店：30×5+5×（x-5）=5x+125，

乙店：90%（30×5+5x）=4.5x+135，

由題意可知：5x+125=4.5x+135，

解得：x=20；即當(dāng)購買乒乓球20盒時(shí)，甲、乙兩家商店所需費(fèi)用一樣多．

（2）當(dāng)購買30盒乒乓球時(shí)，

去甲店購買要5×30+125=275（元），

去乙店購買要4.5×30+135=270（元），

所以去乙店購買合算．

● 方法突破

解決最佳選擇問題的一般步驟：1、運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況；

2、用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解得值，分別代入兩種方案中計(jì)算，比較兩種方案的優(yōu)劣后下結(jié)論。

分配問題

● 典例探究

【例1】學(xué)校分配學(xué)生住宿，如果每室住8人，還少12個(gè)床位，如果每室住9人，則空出兩個(gè)房間。求房間的個(gè)數(shù)和學(xué)生的人數(shù)。

解：設(shè)房間數(shù)為x個(gè)，則有學(xué)生8x+12人，于是8x+12=9(x-2)解得：x=30則：8x+12=252答：房間數(shù)為30個(gè)，學(xué)生252人。

【例2】某工人原計(jì)劃在限定的時(shí)間內(nèi)加工一批零件，如果每小時(shí)加工10個(gè)零件，就可以超額完成3個(gè)；如果每小時(shí)加工11個(gè)零件，就可以提前1小時(shí)完成．問這批零件有多少個(gè)？按原計(jì)劃需多少小時(shí)完成？

【解析】先設(shè)原計(jì)劃規(guī)定的期限為x小時(shí)，由“如果每小時(shí)做10個(gè)零件，就可以超額完成3個(gè)零件”，可知零件的總數(shù)是10x-3，再由“每小時(shí)做11個(gè)零件，就可以提前1小時(shí)完成任務(wù)”，可知零件的總數(shù)是11x-11，由此可得出一個(gè)等量關(guān)系式10x-3=11x-11，解答出來即可．

設(shè)規(guī)定的期限為x小時(shí)，由題意可得：

10x-3=11x-11，

10x-11x=3-11，

- x = -8，

x=8．

零件的總數(shù)是：10x-3=10×8-3=77．

答：這批零件有77個(gè)，按原計(jì)劃需8小時(shí)完成．

● 方法突破

這類分配問題中往往有兩個(gè)不變量，一般為參與分配的人數(shù)和被分配的物品數(shù)量，抓住這兩個(gè)不變量，用不同的代數(shù)式表示不同的分配方式，然后利用總數(shù)相等建立等量關(guān)系，問題也就迎刃而解了。

有規(guī)律的相鄰數(shù)問題

● 典例探究

【例1】一組數(shù)列1、4、7、10、…，其中有三個(gè)相鄰的數(shù)的和為66，求這三個(gè)數(shù)．

【解析】觀察數(shù)列易得這個(gè)數(shù)列后面的數(shù)比它前面的數(shù)大3，設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，表示出其余兩數(shù)，根據(jù)3個(gè)數(shù)相加等于66，列出方程，解方程即可．

設(shè)第一個(gè)數(shù)為x，則第二個(gè)數(shù)為x+3，第三個(gè)數(shù)為x+6，

依題意有：x+x+3+x+6=66，

解得x=19．

答：這三個(gè)數(shù)分別為：19、22、25．

【例2】有一列數(shù)，按一定規(guī)律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三個(gè)相鄰數(shù)的和是3072，則這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)是 ．

【解析】觀察數(shù)列不難發(fā)現(xiàn)后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的-2倍，然后設(shè)最小的數(shù)是x，表示出另兩個(gè)數(shù)，再列出方程求解即可．

∵-2=1×（-2），4=（-2）×（-2），-8=4×（-2），16=（-8）×（-2），-32=16×（-2），…，

∴設(shè)第一個(gè)數(shù)是x，則后面兩個(gè)數(shù)分別為-2x，4x，

由題意得，x-2x+4x=3072，

解得x=1024，

即這三個(gè)數(shù)是1024，-2048,4096．

故最小的數(shù)為-2048．

● 方法突破

（1） 首先我們要熟悉數(shù)字問題中一些常用的表示：例如n可以表示任意整數(shù)，那么三個(gè)連續(xù)的整數(shù)可以表示為n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式；偶數(shù)常用2n表示,奇數(shù)常用2n+1或2n-1表示。

（2） 如果所給的數(shù)列是有一定規(guī)律的數(shù)列，我們關(guān)鍵要找到這列數(shù)字的規(guī)律，然后用相應(yīng)的代數(shù)式表示出相鄰數(shù)，再列方程求解。

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