續(xù)上一集，我們以克萊姆法則為切入口，初步建立了線性觀、線性變換觀、數(shù)形結合觀，長驅直入了行列式理論。這一集我們需要鞏固這些觀念，并樹立從線性方程組中來到線性方程組中去的觀念。行列式長期為解線性方程組服務，解線性方程組是線性代數(shù)發(fā)展的原動力，我們所學知識很大一部分是從線性方程組中來到線性方程組中去。

本集內容結構示意圖：

切入口：高斯消元法

? ? ? ?對于二元一次線性方程組：

? ? ? ? 聯(lián)立求解二元一次方程組的幾何解釋是：

? ? ?? 如圖，兩個直線方程的交集即為解集。兩個傾斜直線并不與坐標系網(wǎng)格對齊，這使得兩個直線的交點很可能不是一目了然的。為此，我們對該二元一次線性方程組進行消元，有：

? ? ? ?消元的幾何解釋是盡可能使直線“擺正方向”：

? ? ? 上圖的系數(shù)矩陣是行階梯形矩陣，它并不是消元徹底的系數(shù)矩陣：

? ? ? 消元徹底的系數(shù)矩陣是行最簡形矩陣：

它的幾何解釋是直線方程完全與坐標網(wǎng)格對齊，那么解集是一目了然的：

? ? ?我們在線性代數(shù)中接觸的消元法是高斯消元法。

? ? ? ?它最早出現(xiàn)在《九章算術》中，是我們解線性方程組慣用的方法。事實上高斯消元法也是較為優(yōu)秀的線性方程組解法，它在幾百萬階的線性方程組求解時仍然奏效。

? ? ? ?高斯消元法包括三種初等變換，其幾何解釋是直線組的順序、直線的法向量長短、直線系都不改變直線組的交點。因為系數(shù)矩陣的初等變換不改變解，所以我們稱初等變換前后的矩陣為“等價關系”。

? ? ? ?不過令線性代數(shù)初學者困惑的是：在求解線性方程組時，為什么只能對系數(shù)矩陣進行行變換而不能進行列變換。在線性變換的觀點下，這個問題可以有很好的回答：

? ? ? ?我們已經(jīng)知道“行左列右”，解向量對系數(shù)矩陣進行了列變換。方程的解向量[x,y]^T，可視為在以系數(shù)矩陣的兩個列向量[3,1]^T、[1,2]^T為基底中的坐標，而得數(shù)向量[8,6]是在默認的基底即標準正交基底下的坐標。

? ? ? ? ?如圖，系數(shù)矩陣的列向量組作為新的基底，如果對它進行列變換，那就是“搞基”，則（2,2）這個坐標也將隨之改變，即算錯了數(shù)。

? ? ? ?在線性變換的觀點下，基或基底這一概念遲早要浮出水面，并不以數(shù)學家的意志為轉移。系數(shù)矩陣作為線性變換的一個描述，可視為這一線性變換是對標準正交基的“拉扯”?，將其變換為以系數(shù)矩陣列向量組為新的基。

? ? ? ?基是線性空間中充當參考系的一個向量組。我們通常希望這個參考系能張滿整個空間，否則如果欠缺了某些維度的方向，那它就丟失這個方向的描述信息。

? ? ? ?對于系數(shù)矩陣而言，如果它的維度小于整個空間的維度數(shù)，那么變換后的新基將丟失相應方向上的描述信息——線性方程組有無窮多解，這會使求逆矩陣解線性方程組的方法失效。系數(shù)矩陣在線性變換的觀點下可視為自變向量的函數(shù)或算子，矩陣乘法即復合函數(shù)，這也很好地解釋了為什么沒有矩陣除法——逆矩陣相當于反函數(shù)。

? ? ? ?函數(shù)與反函數(shù)關于空間對角線對稱，而表示空間對角線的一個向量組正是單位矩陣。

? ? ? 不過逆矩陣的定義仍可能令初學者感到困惑：

? ? ? ?秩就是維度。

? ? ? ?對于伴隨矩陣：

? ? ? ?我們已經(jīng)知道代數(shù)余子式是“旗桿的有向地面積”，則以代數(shù)余子式為元素的伴隨矩陣的一個幾何解釋是各方向均有分量的“分視圖”，我們見過只有特征方向有分量的分視圖，比如“三視圖”。

? ? ? ?我們從各個方向看去，都看到了其對應的底面。如果說三視圖某一方向的信息缺失了，那我們就不能還原原來的物體信息，這樣的虧秩矩陣描述的變換就是一個投影變換，而投影變換是不可逆的，還原的話有無窮多種可能，所以系數(shù)矩陣虧秩的線性方程組的解有無窮多個。

? ? ? 我們從線性方程組出發(fā)：

? ? ? ? 如圖，對于標準正交基的過渡有P=EP，因為標準正交基通常缺省，所以線性方程組中的基的過渡可能不被初學者所察覺，而是認為同在標準正交基下，系數(shù)矩陣將解向量作為自變向量變換到因變向量。

? ? ? ?而坐標過渡公式和基過渡公式雖然形式上簡單，但其實大有玄機——我們將坐標過渡公式和基過渡公式相乘，我們得到一個向量組版本的內積：

? ? ? ?這一件歐亨利式的結果為我們后續(xù)學習兩種特殊的線性變換——相似變換和合同變換埋下了伏筆。

? ? ? ?我們稱描述同一個線性變換不同參考系下的坐標矩陣為“相似關系”，而相似的定義式往往令初學者困惑不已：

? ? ? ?定義：設A,B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，使P^-1AP=B，則稱A，B相似。

? ? ? ?困惑點在于矩陣P該怎樣解釋。實際上這在線性變換的觀點下十分好理解：

? ? ? ?以至于如克萊因所述的C進程，相似定義式的出現(xiàn)是線性變換本身所要求的，不以數(shù)學家的意志為轉移，這是學科自身規(guī)律的作用。

? ? ? ?至此，你應該能非常信服我選取以線性變換為中心來展開線性代數(shù)教學的方案。它不僅具有C進程的優(yōu)勢，還具有B進程的優(yōu)勢，它能有效地將線性代數(shù)組織成一個有機整體，并且還具有A進程的優(yōu)勢——它作為學科觀念，像公理一般發(fā)揮演繹的無窮力量——能讓學習者長驅直入、高屋建瓴地自學許多知識。

? ? ? ?在線性變換的觀點下，“擺正方向”是深入人心的。

? ? ? ?它啟示我們和消元法中擺正直線方向以匹配參考系來凸顯解的位置一樣，我們可以擺正基的方向以適應向量組來凸顯“幾何體的邊長”，比如我們讓它在參考系中被視為“堆砌在墻角的箱子”——就是讓其各個邊長都分別與各個坐標軸對齊，能直接讀數(shù)。這種它本身匹配的基底的基向量，我們稱之為“本征向量”或者“特征向量”。之所以叫“墻角體”是因為特征向量之間是線性無關的，即垂直（線性相關即平行）。

? ? ? 一個矩陣變換它的某個特征向量后，在其他特征向量的坐標分量為0（墻角體），只在該特征向量上伸縮，而伸縮的尺度被稱為特征值，特征值并不以參考系的選取為轉移，它是本征參考系坐標軸的單位長度——該矩陣表示的有向幾何體的邊長，其體積即各個邊長的乘積（行列式=所有特征值乘積）。相應地，如果是逆矩陣，那么特征值就是原矩陣的特征值的倒數(shù)。

? ? ? ?如果說兩個矩陣都是滿秩或可對角化的，即線性描述是全方位的，并且表示的幾何體在各個方向上的邊長都相等，那么我們就認為這個兩個幾何體其實是同一個，而參考系不同，相應的坐標也不同。這啟示我們有些矩陣實際上是描述的同一個線性變換，只不過是參考系選取的不同導致坐標不同，如果能選取本征基，則這些矩陣的都是同一個相似對角形。

? ? ? ?本征基下的矩陣是“墻角體”，然而有一類矩陣它們本來就是“墻角體”——正交矩陣。從幾何上看，正交變換可以保持圖形的形狀不變，這一性質使其是化簡二次型最常用的方法。

? ? ? ?至此，其實關于矩陣相似及特征值的相關內容學習者已經(jīng)可以長驅直入地完成自學了。

? ? ? ?讓我們撲向最后的堡壘——二次型。

? ? ? ?二次型即二次齊次函數(shù)，

? ? ? ?只含有平方項的二次型被稱為“二次型的的標準形”或“法式”?！胺ㄊ健钡暮x為“擺正了方向”。而“標準形”就是我們中學學的圓錐曲線的“標準方程”，以橢圓為例，如果說一個二次曲線的方程含除了平方項外還有交叉項、一次項，那就是“沒擺正”：

? ? ? ?橢圓方程的二次型矩陣即二次齊次函數(shù)的系數(shù)矩陣是正定的，而雙曲線方程中則是半正定的。

? ? ? ?在線性變換的觀點下，應當變換參考系，以使曲線方程在新參考系下為標準形式。我們非常希望參考系是標準正交基，這樣我們只需要旋轉（消掉交叉項）、平移（消去一次項）、伸縮（通常是方程兩側系數(shù)約分)即可，當然為了獲得標準正交基還需要經(jīng)歷一系列程序操作。

? ? ? ?還有一件令初學者困惑的事情：矩陣合同?！昂贤钡暮x是相同：

? ? ? ? 矩陣合同的定義式與矩陣相似的定義式如出一轍，都是三明治式。首先我們希望這個P^T=P^-1，如此一來，逆矩陣就是轉置矩陣，而PP^T=E的矩陣，則P這種實矩陣正是“正交矩陣”，由此我們可以看出用正交變換法寫出二次型的標準形實際上是歸結到矩陣相似。而用正交變換法寫出標準形，會重演我們這門課的學習歷程。

? ? ? ?而有一些矩陣它并不正交，我們通常不考，因為它背后牽扯一個更復雜的事情：張量。

你現(xiàn)階段可以理解中間有內積度量的過渡，因為坐標系的正交和斜交在內積度量上有差異。

? ? ? ?至此，我其實已經(jīng)帶領你們攻下了所有戰(zhàn)略要塞，知識的版圖在我們面前已無險可守，我們完全可以長驅直入占領所有地盤。我認為，教學者最主要的工作是帶領學習者順利渡過思維勢障，它們形如湍流險灘，為此要求教學者探索出一條道路來，或者自行修路。一旦這項工作完成后，學習者的主觀能動性將得以發(fā)揮，由此真正革命填鴨式教學。

【附錄：我提出學科觀念化進程的理由】

? ? ? ?“學科觀念化進程”是我提出，以樹立恰當?shù)?、久?jīng)時間、群眾檢驗的學科觀念為教學首要任務的進程。我認為，學科觀念的樹立標志著學習進程開始走向成熟。

? ? ? ?人類學術歷史上無數(shù)次例證了以新觀念看待世界從而取得了重大突破，科學與技術的發(fā)展史充斥著各種觀念的更迭。在更高觀點下俯視會勢如破竹地解決那些被低觀點所局限的頑固困難。我相信在不顯著提升學習者智力、知識儲備的情況下，僅憑恰當?shù)挠^念和方法完全可以顯著提升學習效率，并且會解決舊教學方案所不能解決的頑固困難。

? ? ? ?在頭腦中，觀念用來駕馭知識，觀念最好是與學科規(guī)律、公理或定理相契合，這要求教學者為此精心設計一番，令學習者順利地接受觀念。這一方案是我做了很久的夢，夢中我能看到那些山河表里般的知識版圖，比鄰著更浩瀚的真理海洋。我盡可能地挖掘出清晰簡明的水渠，讓如水的思緒去灌溉更多干旱的知識田野。

? ? ? ?我對這一種進程寄予厚望，它在我的夢境中是如此生動，奈何限制于我的時間和表達能力，它或許在我描摹在紙上時并不宜人。在此拋轉引玉，我寄希望于后來人，我認為按這套進程走下去，會完善成未來10年線性代數(shù)最好的教學方案。

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