應(yīng)該沒記錯(cuò)日子吧。

本節(jié)講的是基數(shù)，也就是自然數(shù)的另一個(gè)層面，用來計(jì)數(shù)集合中元素的數(shù)量。本節(jié)涉及的主要證明能力是:(1)結(jié)合已有的結(jié)論來證明，尤其是集合和函數(shù)的幾節(jié)，也稍微涵蓋了像，笛卡爾積，自然數(shù)的內(nèi)容。(2)構(gòu)造一個(gè)明確的雙射函數(shù)。先聲明這個(gè)函數(shù)，接著證明這個(gè)定義下函數(shù)的存在性，單射性，滿射性。(3)數(shù)學(xué)歸納法，總是會(huì)用到命題3.6.14(a)(b)，和引理3.6.9。

（這次沒對(duì)答案，如果對(duì)你解題產(chǎn)生了誤導(dǎo)up當(dāng)場(chǎng)滑跪(淚)）

相等的基數(shù)

?我們?nèi)绻梢栽趦蓚€(gè)集合之間構(gòu)造一個(gè)雙射，那么兩集合的基數(shù)是相等的。這與我們掰手指頭算數(shù)的原理一致。

?基數(shù)相等也是一種等價(jià)關(guān)系。因此滿足四條公理。

3.6.1，證明相等的基數(shù)是一種等價(jià)關(guān)系。

?(1)構(gòu)造函數(shù)f：X→X滿足f(x):=x

(2)可逆函數(shù)的逆是雙射的（習(xí)題3.3.6后半截）

?(3)雙射是傳遞的。（習(xí)題3.3.7）

?3.6.5，照應(yīng)了定義3.5.4。f(x，y):=(y，x)

?3.6.6，猜測(cè)為u：g→f（這里是元素到元素，輸入法沒有，用加粗表示），g：(b，c)→a，f：c→α，α：b→a。a，b，c分別屬于A，B，C。u(g):=f?g，f滿足g(b，c)=(f(c))(b)。沒時(shí)間搞，可能是對(duì)的。

基數(shù)為n

?建立其集合與自然數(shù)集的關(guān)系。

3.6.2，在歸納法里面用的很多。

?利用習(xí)題3.3.3的結(jié)論。

3.6.9，抽屜原理還挺有用的，而且還可以擴(kuò)展，得到更廣義的情況。

?利用反證。

基數(shù)唯一

?除了命題本身之外，還有一個(gè)有意思的引理：X的基數(shù)為n且n大于等于1，則對(duì)x屬于X，X-{x}的基數(shù)是n-1。

有限集

?在證明的時(shí)候都會(huì)要證到這個(gè)性質(zhì)。但基本沒有人會(huì)照著定義來的吧。。。

3.6.3，自然數(shù)集的有限子集是有界的。

3.6.7，利用命題3.6.14(c)(d)，再利用像的知識(shí)。

3.6.8，利用像和逆函數(shù)構(gòu)造雙射函數(shù)h?1(b)，再以此定義b∈f(A)時(shí)g(b):=f(b)。

基數(shù)算數(shù)

?蠻有用的，習(xí)題細(xì)說。

3.6.4，活用歸納法。

?(a)可以不用歸納法，設(shè)#(X)=n，存在雙射函數(shù)g。構(gòu)建函數(shù)f：X∪{x}→{i∈N：1≤i≤n+1}，滿足x∈X，g(x):=f(x)，x∈{x}，g(x):=n+1。接著三板斧證明就可以了。注意，當(dāng)我們指出集合的基數(shù)時(shí)，就已經(jīng)證明了它是有限集。

?(b)記#(X)=n，#(Y)=m。對(duì)n歸納，0的情況易證(利用習(xí)題3.6.2的結(jié)論)。接著假設(shè)n的情況結(jié)論成立。此方便起見我們假設(shè)#(X∪Y)=k≤n+m

?注意我們是對(duì)任意基數(shù)是n的集合成立結(jié)論的（盡管n本身是確定的，但X是無限定的集合。）證明對(duì)集合A，有#(A)=n++成立結(jié)論。這里可以利用到引理3.6.9，結(jié)合單個(gè)選取（引理3.1.6），取出a∈A，則有#(A-{a})=n。進(jìn)而#((A-{a})∪Y)=k≤n+m，進(jìn)而#(((A-{a})∪Y)∪{a})=k or k+1≤(n++)+m（用到了(a)和序不變(命題2.2.12(d))）

?((A-{a})∪Y)∪{a}=A∪Y，{a}?Y?{a}∪Y(習(xí)題3.1.5)，此時(shí)#(A∪Y)=k，否則為k+1。

?若此時(shí)A∩Y=φ，顯然(A-{a})∩Y=φ，所以此時(shí)k=n+m，且由上{a}不包含于Y，故#(A∪Y)=k+1=(n++)+m。

(c)類似的配方，第二個(gè)內(nèi)容從n=1開始證，順便證個(gè)引理：X為單元素集當(dāng)且僅當(dāng)#(X)=1。

(d)仍然歸納法。當(dāng)#(X)=0時(shí)，f(X)=φ，有0≤0，并且由習(xí)題3.3.3的結(jié)論，此時(shí)f一定為單射，也滿足0=0

?類似的配方。定義f：A-{a}→Y，滿足f(x):=g(x)。再設(shè)y∈Y，y=g(a)。

?最后#(g(A))=#((g({a}))∪g(A-{a}))≤#({y})+#(f(A-{a}))=n++。

(e)類似的配方，略。

(f)嗚嗚嗚手打要拖更了。。。

3.6.9，配合3.6.14食用更佳。

?em，匆忙寫的證明，利用了習(xí)題3.1.10。

?A=(A\B)∪(A∩B)，B=(B\A)∪(A∩B)，A∪B=(A\B)∪(A∩B)∪(B\A)，由于三者不相交。根據(jù)3.6.14(b)，有#(A)+#(B)=#(A\B)+2#(A∩B)+#(B\A)=#(A∪B)+#(A∩B)

就這樣。